§1.4 无穷小量

§1.4.1 无穷小量与无穷大量

无穷小量

定义：以零为极限的函数（或数列）称为无穷小量，记为 $o(1)$。

• 数列 $\{x_n\}$ 若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$，称 $\{x_n\}$ 为无穷小量
• 函数 $\alpha (x)$ 若 ${\lim }_{x\to x_0(\text{或 }\pm \infty )}\alpha (x)=0$，称 $\alpha (x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小量

⚠️ 重要：无穷小量必须指明变化过程！例如 $x^3$，当 $x\to 0$ 时是无穷小量，当 $x\to \infty$ 时是无穷大量。

无穷大量

定义：以无穷为极限的函数称为无穷大量。 注：称极限是无穷仅仅是应用的方便，实质上极限不存在。

无穷小量与无穷大量的关系

$f(x)\text{ 为无穷大}\iff \frac{1}{f(x)}\text{ 为无穷小}(f(x)\ne 0)$

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§1.4.2 函数的无穷小量表示（重要）

定理 2：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)\to 0$

即： ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff f(x)=A+o(1)$

重要性：由函数的极限得到其结构式——极限值 + 无穷小量。

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§1.4.3 无穷小量的四则运算性质

定理 3：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。

定理 4：有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。

例：

• ${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\sin x}{x}=0$
• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\arctan n}{n}=0$

推论 1：常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量 推论 2：有限个无穷小量的乘积是无穷小量

定理 5：无穷小量除以极限存在且不为零的函数，所得的商函数仍是无穷小量。

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§1.4.4 无穷小量的比较

设 $\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=0$，$\underset{x\to x_0}{\lim }\beta (x)=0$，且 $\beta (x)\ne 0$

关系	条件	记号
$\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小	$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$	$\beta =o(\alpha )$
$\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小	$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$
$\beta$ 与 $\alpha$ 同阶无穷小	$\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$	$\beta =O(\alpha )$
$\beta$ 与 $\alpha$ 等价无穷小	$\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$	$\beta \sim \alpha$
$\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小	$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0$	$\beta \sim c{\alpha }^k$

$o$ 记号的性质：

• $o(\alpha )=\{f\mid \lim \frac{f}{\alpha }=0\}$，是一函数集合
• $k\cdot o(\alpha )+l\cdot o(\alpha )=o(\alpha )$
• $o(\alpha )-o(\alpha )=o(\alpha )$（不是 $0$！）

例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$，∴ $1-\cos x$ 是 $x$ 的 2 阶无穷小量，且 $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

无穷小量的阶运算性质：

设 $f(x)$、$g(x)$ 分别是 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小量，则：

1. $f(x)\cdot g(x)$ 是 $n+m$ 阶无穷小量
2. 当 $n>m$ 时，$f(x)\pm g(x)$ 是 $m$ 阶无穷小量
3. 当 $n\ne m$ 时，$\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $n-m$（$n>m$）或 $m-n$ 阶

代数和等价替换性质：当 $x\to 0$ 时，$f(x)\sim c_1{x}^m$，$g(x)\sim c_2{x}^m$，且 $c_1+c_2\ne 0$，则 $f(x)+g(x)\sim (c_1+c_2)x^m$。

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§1.4.5 等价无穷小量的性质

性质 1：等价 ⇔ 差为高阶

$\beta (x)\sim \alpha (x)\iff \beta (x)-\alpha (x)=o(\alpha (x))\iff \beta (x)=\alpha (x)+o(\alpha (x))$

例：$\sin x\sim x$，∴ $\sin x=x+o(x)$，且 $\sin x-x\sim -\frac{1}{6}{x}^3$

性质 2：低阶 + 高阶 = 低阶

$\beta (x)=\alpha (x)+o(\alpha (x))\Rightarrow \beta (x)\sim \alpha (x)$

性质 3：等价无穷小量替换（⭐核心性质）

若 $\alpha (x)\sim \beta (x)$，$g(x)$ 为一函数，则： $\lim \alpha (x)\cdot g(x)=\lim \beta (x)\cdot g(x)$

$\lim \frac{g(x)}{\alpha (x)}=\lim \frac{g(x)}{\beta (x)}$

⚠️ 注意：

• 乘积运算可做等价替换 ✅
• 代数和运算需谨慎 ❌（需要用到泰勒展开）

例： ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{1-\cos x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x^2/2}=2\text{（正确✓）}$

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}\stackrel{\text{错误!}}{\ne }{\lim }_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=0\text{（错误times）}$

正确做法（泰勒）：$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，∴ 极限 $=-\frac{1}{6}$

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§1.4.6 常用等价无穷小量（$x\to 0$）

基础等价

等价关系	公式
正弦	$\sin x\sim x$
反正弦	$\arcsin x\sim x$
正切	$\tan x\sim x$
反正切	$\arctan x\sim x$
对数	$\ln (1+x)\sim x$
指数	$e^x-1\sim x$

进阶等价

等价关系	公式
余弦	$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
幂指	$(1+x{)}^a-1\sim ax$
对数底	${\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$
指数底	$a^x-1\sim x\ln a$
根式	$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$

精度更高的展开

等价关系	公式
正弦三阶	$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
正切三阶	$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
差三阶	$\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$

等价无穷小的推广

${\lim }_{\square \to 0}\frac{\sin \square }{\square }=1(\square \ne 0)$

例如：当 $x\to a$ 时，$\sin (x-a)\sim x-a$；当 $x\to 0$ 时，$\sin (x^2)\sim x^2$

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§1.4.7 幂指函数 $1^{\infty }$ 型求极限技巧

对于 $[v(x){]}^{u(x)}$，若当 $x\to x_0$ 时 $u(x)\to \infty$，$v(x)\to 1$：

$\lim [v(x){]}^{u(x)}=\lim e^{u(x)\cdot \ln [1+(v(x)-1)]}=\lim e^{u(x)\cdot (v(x)-1)}$

核心公式： ${\lim }_{x\to x_0}[v(x){]}^{u(x)}=\exp \left({\lim }_{x\to x_0}u(x)\cdot (v(x)-1)\right)$

例：$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}$

${\lim }_{x\to 0}(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}={\lim }_{x\to 0}{e}^{\frac{\ln \cos x}{x^2}}={\lim }_{x\to 0}{e}^{\frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}}$

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关键公式汇总

公式	条件
$\lim f(x)=A\iff f(x)=A+o(1)$	无穷小量表示
$\sin x\sim x$	$x\to 0$
$\tan x\sim x$	$x\to 0$
$\ln (1+x)\sim x$	$x\to 0$
$e^x-1\sim x$	$x\to 0$
$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$	$x\to 0$
$(1+x{)}^a-1\sim ax$	$x\to 0$
$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$	$x\to 0$
$\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$	$x\to 0$
$\lim [v^u]=\exp (\lim u\cdot (v-1))$	$1^{\infty }$ 型