§1.3 函数的极限

微积分主要的研究对象是函数，而函数的极限是微积分中最基本的概念。微分与积分都是通过极限来定义，故函数的极限称为微积分的灵魂。

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§1.3.1 函数极限的定义

函数自变量的变化过程有两大类，共 6 种情况：

类别	记号	含义
一、自变量趋于无穷	$x\to +\infty$	x 沿正方向趋于无穷
	$x\to -\infty$	x 沿负方向趋于无穷
	$x\to \infty$
二、自变量趋于有限值	$x\to x_0$	x 趋于 x₀（双侧）
	$x\to x_0^{-}$	x 从左侧趋于 x₀（左极限）
	$x\to x_0^{+}$	x 从右侧趋于 x₀（右极限）

1. 自变量趋于无穷时的极限

定义 1：$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$

设函数 $f(x)$ 在 $x\ge a$ 时有定义，$A$ 为常数。对 $\forall \epsilon >0$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

定义 2：$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$

设函数 $f(x)$ 在 $x\le a$ 时有定义，$A$ 为常数。对 $\forall \epsilon >0$，存在 $X>0$，当 $x<-X$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

定义 3：$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$

设函数 $f(x)$ 在 $|x|\ge a$ 时有定义，$A$ 为常数。对 $\forall \epsilon >0$，存在 $X>0$，当 $|x|>X$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

水平渐近线：如果 $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=A$，则称直线 $y=A$ 为曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线。曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线最多两条。

曲线能不能与水平渐近线相交？可以。

2. 自变量趋于有限值时的极限

定义 4：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$（ε-δ 定义）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，$A$ 为常数。对 $\forall \epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

记为 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，或 $f(x)\to A(x\to x_0)$。

• 点 $x_0$ 的某去心邻域记为 $\stackrel{\circ }{U}(x_0)$ 或 $\stackrel{\circ }{U}(x_0,\delta )$
• 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否存在极限与其在 $x_0$ 是否有定义无关

几何意义：当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，函数值 $f(x)$ 落在 $A-\epsilon$ 到 $A+\epsilon$ 之间。

单侧极限（左极限与右极限）

定义 5：左极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某左邻域内有定义，$A$ 为常数。对 $\forall \epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

记为 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$，或 $f(x_0-0)=A$

定义 6：右极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某右邻域内有定义，$A$ 为常数。对 $\forall \epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

记为 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$，或 $f(x_0+0)=A$

双侧极限与单侧极限的关系：

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff f(x_0-0)=f(x_0+0)=A$

即函数在某点极限存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。

例：证明符号函数 $\text{sgn}(x)$ 当 $x\to 0$ 时极限不存在。

$\because {\lim }_{x\to 0^{-}}\text{sgn}(x)=-1$，${\lim }_{x\to 0^{+}}\text{sgn}(x)=1$，不相等 $\therefore$ 极限不存在。

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§1.3.2 函数极限的性质

（以下主要就 $x\to x_0$ 进行阐述，其余情况类似）

定理 2：唯一性

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，则它的极限值是唯一的。

定理 3：局部有界性

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a$，则存在 $M>0,\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|<M$。

（对于 $x\to \infty$ 的情况：存在 $M>0,X>0$，当 $|x|>X$ 时，有 $|f(x)|<M$）

定理 4：局部保序性（保号性）

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=b$，且 $a>b$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>g(x)$。

推论 1：若 $\lim f(x)=a>b$，且 $a>b$，则存在去心邻域内 $f(x)>b$

推论 2：若 $\lim f(x)=a>0$，则存在去心邻域内 $f(x)>0$

推论 3：若 $\lim f(x)=a$，$\lim g(x)=b$，且在去心邻域内 $f(x)\ge g(x)$，则 $a\ge b$

注意：反之不一定成立。

定理 5：四则运算法则

设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=b$，则：

1. $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=a\pm b$
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=a\cdot b$
3. 若 $b\ne 0$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}$

有理分式函数的极限：

${\lim }_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}=\{\begin{array}{ll}\frac{P(x_0)}{Q(x_0)},& Q(x_0)\ne 0\\ \text{需进一步分析},& Q(x_0)=0\end{array}$

有理分式当 $x\to \infty$ 时的极限：

${\lim }_{x\to \infty }\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{b_0},& n=m\\ 0,& n<m\\ \infty ,& n>m\end{array}$

定理 6：复合运算法则（法则二）

设函数 $y=f[\phi (x)]$ 是由 $y=f(u)$ 与 $u=\phi (x)$ 复合而成，$x_0$ 的某个去心邻域属于 $\phi$ 的定义域，且 $\phi (x)\ne u_0$。 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\phi (x)=u_0$，$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$，则 ${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]={\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$

该定理的多种形式：

• ${\lim }_{x\to \infty }\phi (x)=u_0\wedge {\lim }_{u\to u_0}f(u)=A\Rightarrow {\lim }_{x\to \infty }f[\phi (x)]=A$
• ${\lim }_{x\to \infty }\phi (x)=\infty \wedge {\lim }_{u\to \infty }f(u)=A\Rightarrow {\lim }_{x\to \infty }f[\phi (x)]=A$

应用：换元法求极限

• 第一换元法：引入中间变量 $u=\phi (x)$ 简化极限
  • 例如：$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}\stackrel{u=\frac{1}{x}}{=}\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$
• 第二换元法：令 $u=\phi (x)$（严格单调），反解 $x={\phi }^{-1}(u)$
  • 例如：$\underset{x\to 0}{\lim }f(\cos x)\stackrel{u=\cos x}{=}\underset{u\to 1}{\lim }f(u)$

定理 7：海涅定理（Heine Theorem）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff 对\text{任意}异于x_0且收敛于x_0的数列\{x_n\}，都有{\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$

应用一：求数列的极限（连续性定理）

若已知 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，则对任意 $x_n\to x_0$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$

例如：$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \frac{1}{n}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

应用二：证明函数极限不存在

方法：找出两个收敛于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\},\{y_n\}$，如果数列 $\{f(x_n)\}$ 与 $\{f(y_n)\}$ 收敛于不同的极限，则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限不存在。

例：证明 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$（或 $\cos \frac{1}{x}$）当 $x\to 0$ 时极限不存在。

• 取 $x_n=\frac{1}{2n\pi }$，$f(x_n)=\sin (2n\pi )=0$
• 取 $y_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$，$f(y_n)=\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1$

两子列极限不同，∴ 原极限不存在。

海涅定理的其他形式： ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A\iff 任一收敛于+\infty 的数列\{x_n\}，都有{\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$

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§1.3.3 极限存在准则

准则：夹逼定理（函数版本）

若函数 $f(x),g(x),h(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内满足：

1. $g(x)\le f(x)\le h(x)$
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=A$

则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，且等于 $A$。

（对 $x\to \infty$ 也有类似形式）

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§1.3.4 两个基本极限

基本极限一：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

证明思路（几何法，单位圆）：

当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，有 $\sin x<x<\tan x$

$\Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\Rightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

由夹逼定理，$x\to 0^{+}$ 时 $\frac{\sin x}{x}\to 1$（偶函数，负侧同理）。

推广公式： ${\lim }_{\square \to 0}\frac{\sin \square }{\square }=1(\square \ne 0)$

重要推论： ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

例：

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{2x}=2\cdot 1=2$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}$

基本极限二：$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

由数列极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$ 推广而来。

${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e,{\lim }_{x\to -\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

重要推论（1∞ 型极限）：

1. $\underset{\square \to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{\square }\right)}^{\square }=e$

2. $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

3. $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x+a}{x+b}\right)}^x=e^{a-b}$

推导：${\left(\frac{x+a}{x+b}\right)}^x={\left[{\left(1+\frac{a-b}{x+b}\right)}^{\frac{x+b}{a-b}}\right]}^{\frac{(a-b)x}{x+b}}\to e^{a-b}$

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§1.3.5 无穷大量与垂直渐近线

函数的无界与无穷大量

无穷大量：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，即 $\forall M>0$，$\exists \delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)|>M$。

无界函数：$\forall M>0$，$\exists x\in U(x_0)$，使得 $|f(x)|>M$。

无穷大量一定无界，反之不一定。 例如：$f(x)=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处无界，但不是无穷大量。

同理可定义 $x\to \infty$ 时的正无穷大量、负无穷大量。

注：称极限是无穷仅仅是应用的方便，实质上极限不存在。无穷大量是一函数，而不是很大的数。

垂直渐近线

对于函数 $y=f(x)$，如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$（单侧或双侧），称直线 $x=x_0$ 为曲线 $y=f(x)$ 的垂直渐近线。

例：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=\infty$，则 $x=0$ 为该曲线的一条垂直渐近线。

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补充：数学归纳法

数学归纳法是一种用于证明与自然数相关的命题的严谨演绎方法，通过验证基础情形和递推关系实现无限自然数集的命题验证。

步骤：

1. 第一步：验证 $n$ 取第一个自然数时命题成立
2. 第二步：假设 $n=k$ 时命题成立，然后使用假设的条件作为论证的依据推导 $n=k+1$ 命题成立
3. 最后一步：总结表述

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关键公式汇总

公式	说明
${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$	基本极限一
${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$	余弦极限
${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$	正切极限
${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$	反正弦极限
${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$	对数极限
${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$	基本极限二
${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$	e 的等价形式
${\lim }_{x\to \infty }(\frac{x+a}{x+b}{)}^x=e^{a-b}$	1∞ 型推广