§1.2 数列的极限

§1.2.1 数列极限的定义

数列的定义

以自然数 $n$ 为自变量的函数 $x_n=f(n)$，当 $n$ 依次取 $1,2,3,\dots$ 时所得的一列函数值 $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n,\dots$ 称为数列，简记为 $\{x_n\}$。

• 数列中的每一个数叫做数列的项，第 $n$ 项 $x_n$ 叫做数列的一般项（或通项）

数列的例子：

通项	数列	趋势
$x_n=1$	$1,1,1,1,\dots$	→ 1
$x_n=\frac{1}{n}$	$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$	→ 0
$x_n=\frac{n}{n+1}$	$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots$	→ 1
$x_n=\frac{1+3+5+\cdots +(2n-1)}{2}$	…	→ ∞
$x_n=\frac{1+(-1{)}^n}{2}$	$0,1,0,1,\dots$	发散

数列的表示方法

1. 几何表示（平面点集）：数列是平面上的离散点集
2. 数轴表示（点列）：数列 $\{x_n\}$ 常看做数轴上的一个动点，依次取数轴上的点 $x_1,x_2,x_3,\dots$

数列极限的直观定义（柯西）

对于数列 $\{x_n\}$，当 $n\to \infty$ 时，$x_n$ 与某个常数 $a$ 的距离可以任意小（无限接近），则称 $a$ 为数列 $\{x_n\}$ 的极限，数列 $\{x_n\}$ 为收敛数列。

奥古斯丁·路易斯·柯西（1789年-1857年），法国数学家。

数列极限的严格定义（魏尔斯特拉斯 ε-N 定义）

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（1815年-1897年），德国数学家，被誉为”现代分析之父”。

定义：设 $\{x_n\}$ 为一数列，$a$ 为一常数。如果对于任意给定的很小的正数 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 都成立，那么就称 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记为 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,或x_n\to a(n\to \infty )$

• 此时也称数列 $\{x_n\}$ 是收敛的，否则称其发散
• 该定义也称为 ε-N 定义

ε-N 定义要点

1. 几何意义：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ 意味着对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，所有的点 $x_n$ 都落在开区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 内。

2. 邻域概念：$a$ 的 $\epsilon$ 邻域记为 $U(a,\epsilon )=\{x\mid a-\epsilon <x<a+\epsilon \}$ 或 $\{x\mid |x-a|<\epsilon \}$，其中 $a$ 称为邻域中心，$\epsilon$ 称为邻域半径。

3. N 不唯一：定义中的正整数 $N$ 是不唯一的，$N$ 是与 $\epsilon$ 有关的，它随着 $\epsilon$ 的变化而变化。

4. 定义的等价形式：定义中的不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 可替换为 $|x_n-a|<k\epsilon$（$k$ 为正常数）。

5. 有限项不影响：在数列中，去掉、加上或改变有限项，不改变数列的敛散性，且在收敛的情况下不改变其极限。

6. 逻辑记号：”∀” 表示”任意”，”∃” 表示”存在”。 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff \forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{Z}}^{+},当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon$

用定义证明极限的例子

例 1：证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+1}{n}=2$

$$\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|=\frac{1}{n}<\epsilon \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon },N=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$$

例 2：用定义证明当 $|q|<1$ 时，$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0$

由 $|q{|}^n<\epsilon \Rightarrow n>\frac{\ln \epsilon }{\ln |q|}$，取 $N=\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln |q|}\right]$

例 3：用定义证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$（$a>0$）

常见结论： ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a}=1;{\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1;{\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0(a>0)$

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§1.2.2 数列极限的性质

性质一：唯一性

如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么它的极限唯一。

性质二：有界性

如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 有界，即存在 $M>0$，使得对于一切 $n$，有 $|x_n|\le M$。

有界数列的定义：存在正数 $M$，使得对于任意 $n$ 都满足 $|x_n|\le M$

注意：有界不一定收敛（反之不成立）。例如 $x_n=(-1{)}^n$ 有界但不收敛。

无界不一定是无穷大。无穷大一定无界，反之不一定。 例如：$2,0,6,0,\dots ,n\cdot (1+(-1{)}^n),\dots$ 是无界但不是无穷大。

无穷大量的定义：对于任意正数 $M$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n|>M$，则称数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量，记为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\infty$。

注：称一数列的极限是无穷仅仅是应用的方便，该数列的极限本质上是不存在的。

性质三：保序性（保号性）

设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=b$，若 $a>b$，则存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $x_n>y_n$。

推论 1：若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a>b$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$x_n>b$

推论 2：若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a>0$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$x_n>0$

推论 3：若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=b$，且存在 $N$，当 $n>N$ 时 $x_n\ge y_n$，则 $a\ge b$

注意：逆定理不成立（即从 $x_n>y_n$ 推不出 $a>b$，只能推出 $a\ge b$）

性质四：四则运算法则

设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=b$，则

1. $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\pm y_n)=a\pm b$（可推广至有限个）
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\cdot y_n)=a\cdot b$
3. 若 $b\ne 0$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$

推论：

• $\underset{n\to \infty }{\lim }C{x}_n=C\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$（$C$ 为常数）
• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^k=(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{)}^k$（$k$ 为正整数）

重要公式（有理分式极限）： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_0{n}^k+a_1{n}^{k-1}+\cdots +a_k}{b_0{n}^l+b_1{n}^{l-1}+\cdots +b_l}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{b_0},& k=l\\ 0,& k<l\\ \infty ,& k>l\end{array}$

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§1.2.3 数列极限的判别准则

准则一：夹逼定理（三明治定理）

设 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 是三个数列，若：

1. $y_n\le x_n\le z_n$（$n=1,2,\dots$）
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a$

则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

典型应用一：n 项和求极限（放缩法）

多时候：放大为最大数乘项数，缩小为最小数乘项数（或缩小为最大数）

例：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\cdots +\frac{1}{n^2+n}\right)$

注：$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}=\max \{a,b,c\}$（$a,b,c>0$）

典型应用二：递推数列求极限

一般步骤：

1. 假设极限存在，根据递推关系求出极限（猜出极限 $a$）
2. 由夹逼准则，使用放缩法，证明 $\lim x_n=a$

性质：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff {\lim }_{n\to \infty }(x_n-a)=0\iff {\lim }_{n\to \infty }|x_n-a|=0$

若存在 $0\le |x_n-a|\le y_n\to 0$，则 $x_n\to a$

准则二：单调有界准则

单增有上界必有极限；单减有下界必有极限。

单调性定义：

• 若 $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n\le x_{n+1}\le \dots$，称 $\{x_n\}$ 为单增数列
• 若 $x_1<x_2<\cdots <x_n<x_{n+1}<\dots$，称 $\{x_n\}$ 为严格单增数列

性质：设数列 $\{x_n\}$ 严格单增有上界且 $\lim x_n=a$，则 $x_n<a$。

单调有界准则的典型使用：递推数列求极限

证明单调性一般有三种方法：

1. 作差法（$x_{n+1}-x_n$）
2. 作商法（$x_{n+1}/x_n$）
3. 数学归纳法

证明有界性一般有两种方法：

1. 放缩法
2. 数学归纳法

重要公式（基本极限之一）

${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$

• 数列 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 严格单增，且 $<e\approx 2.7$
• 典型错误：$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{1}^n=1$（❌ 错误！）

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§1.2.4 子数列与 Stolz 定理

子数列

在原数列 $\{x_n\}$ 中从左往右任意取出无限项，按它们在原数列中的次序逐次排列，得到的新数列称为 $\{x_n\}$ 的子数列，记为 $\{x_{n_k}\}$。

性质七：子数列收敛的继承性

数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ ⇔ 它的任一子数列 $\{x_{n_k}\}$ 也都收敛于 $a$。

推论：

• 若数列有一子列不收敛，或有两个子列收敛于不同的极限，则原数列一定发散
• 对于**单增（减）**数列 $\{x_n\}$，若存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 满足 $\lim x_{n_k}=a$，则 $\lim x_n=a$

定理八（奇数子列 + 偶数子列）

对于数列 $\{x_n\}$，若 $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k}=\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k-1}=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$。

性质：有界量 × 无穷小 = 无穷小

设数列 $\{x_n\}$ 有界，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$。

*Stolz 定理（施笃兹；斯托尔兹定理）

设数列 $\{y_n\}$ 严格单增且 $\lim y_n=+\infty$，若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ 存在或无穷，则： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$

例 1：设 $\lim x_n=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=a$

例 2：设 $x_n>0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}=a$

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关键公式汇总

公式	说明
${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$（$	q	<1$）	等比数列
${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$	n次根号
${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a}=1$（$a>0$）
${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0$	阶乘压倒指数
${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^k}{a^n}=0$（$a>1$）	指数压倒幂
${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n^p}=0$（$p>0$）	幂压倒对数
${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$	基本极限