转动力学
大学物理 · 刚体转动 2026/04/16 | 语音转文字整理稿（已勘误） 本节课涵盖刚体转动的核心概念：角速度与角加速度、转动惯量、角动量守恒、欧拉陀螺、定轴转动与定点转动等。语音识别错误极多（“刚体”→“字典”、“转动惯量”→“转发量”等），以下内容已根据物理知识勘误整理。
一、角速度与角加速度
1.1 定义与矢量性质
角速度 ω ：描述转动快慢的物理量，单位 rad/s
角加速度 α ：角速度的变化率，单位 rad/s²
矢量性质 ：角速度和角加速度都是矢量，方向由右手定则确定（沿转轴方向） 关键问题 ：角速度是否同向？角加速度是否同向？
答案：不一定！角速度和角加速度可以方向相反（减速转动时）。
1.2 角速度与线速度的关系
基本公式 ：
线速度：v = ω × r（矢量形式）
切向加速度：at = α × r
向心加速度：an = ω² r
总加速度：a = at + an
1.3 角速度减小的例子
当物体转动时，角速度逐渐减小（如陀螺减速），角速度为正值，但角加速度为负值——两者方向相反。
二、转动惯量
2.1 定义
转动惯量 J（或 I） ：描述刚体转动惯性大小的物理量
J = ∫ r² dm
取决于：质量分布、转轴位置
2.2 平行轴定理
平行轴定理 ：
J = Jcm + Md²
其中 Jcm 为过质心轴的转动惯量，d 为两轴间距
2.3 垂直轴定理
垂直轴定理 （适用于薄板）：
Jz = Jx + Jy
薄板绕垂直于板面轴的转动惯量等于绕板面内两垂直轴转动惯量之和
2.4 常见形状的转动惯量
| 物体 | 转轴 | 转动惯量 |
|---|---|---|
| 细杆 | 过中点垂直于杆 | J = ML²/12 |
| 细杆 | 过端点垂直于杆 | J = ML²/3 |
| 圆盘/圆柱 | 过中心垂直于盘面 | J = MR²/2 |
| 圆环 | 过中心垂直于环面 | J = MR² |
| 球体 | 过球心任意轴 | J = 2MR²/5 |
| 球壳 | 过球心任意轴 | J = 2MR²/3 |
三、转动定律
转动定律 （类比牛顿第二定律）：
M = Jα
力矩 M 使刚体产生角加速度 α，转动惯量 J 是”转动质量”
3.1 力矩的定义
力矩 ：M = r × F
大小：|M| = rF⊥ = rF sin θ
方向：由右手定则确定
四、定轴转动问题
4.1 阿特伍德机（含滑轮质量）
经典问题 ：两个质量 M₁、M₂ 的物体通过绳子跨过滑轮，滑轮有质量 M、半径 R
分析步骤 ：
- 对两个物体分别应用牛顿第二定律：M₁g - T₁ = M₁a，T₂ - M₂g = M₂a
- 对滑轮应用转动定律：(T₁ - T₂)R = Jα，J = MR²/2
- 关联方程：a = αR
- 求解加速度 a 和张力 T₁、T₂
4.2 复合滑轮
两个半径不同的滑轮固定在一起，绳子分别绕在两个滑轮上。分析方法类似，注意两个半径的关系。
五、角动量守恒
5.1 角动量的定义
质点的角动量 ：L = r × p = r × mv
刚体的角动量 ：L = Jω
角动量定理 ：M = dL/dt
5.2 角动量守恒定律
守恒条件 ：合外力矩为零
结论 ：L = Jω = 常量
应用实例 ：
- 花样滑冰运动员收臂后转速加快（J减小，ω增大）
- 直升机尾桨的作用：抵消主旋翼转动产生的角动量
六、欧拉陀螺
6.1 欧拉陀螺的定义
欧拉陀螺 ：绕固定点自由转动的刚体（如玩具陀螺、地球）
与定轴转动 的区别：定轴转动是绕固定轴转动，欧拉陀螺是绕固定点转动，转轴本身可以改变方向
6.2 欧拉运动学方程
欧拉角 ：描述定点转动姿态的三个角度（φ、θ、ψ）
欧拉运动学方程 ：角速度在各主轴方向的分量
ωx = dθ/dt sin φ + dψ/dt sin θ cos φ
ωy = dθ/dt cos φ - dψ/dt sin θ sin φ
ωz = dφ/dt + dψ/dt cos θ
6.3 欧拉动力学方程
欧拉动力学方程 （绕主轴）：
Jx dωx/dt + (Jz - Jy)ωyωz = Mx
Jy dωy/dt + (Jx - Jz)ωzωx = My
Jz dωz/dt + (Jy - Jx)ωxωy = Mz
6.4 刚体进动
进动 ：陀螺在重力作用下绕竖直轴缓慢转动的现象
进动角速度 ：Ω = MgL / (Jω)
其中 L 是陀螺支点到质心的距离，ω 是自转角速度
七、滚动问题
7.1 纯滚动条件
纯滚动 ：无滑动的滚动
条件 ：v = ωR（瞬时静止点）
能量 ：动能 = 平动动能 + 转动动能
Ek = Mv²/2 + Jω²/2 = (M + J/R²)v²/2
7.2 滚动斜面问题
问题 ：圆柱体从斜面顶端无滑动滚下
分析 ：
- 平动：Mg sin θ - f = Ma
- 转动：fR = Jα
- 纯滚动：a = αR
- 求解：加速度 a = g sin θ / (1 + J/(MR²))
结论 ：转动惯量越大的物体滚得越慢（圆环比圆盘慢）
八、勘误记录
| 语音识别主要错误（约50+条）： 原识别 | 修正 |
|---|---|
| 字典/高峰期/病毒 | 刚体 |
| 转发量/睡眠 | 转动惯量 |
| 地址/脚踏 | 力矩 |
| 华为 | 滑轮 |
| 自行/心董事长 | 质心 |
| 资源 | 质点 |
| 欧拉陀螺→欧拉陀螺 | 欧拉陀螺（正确） |
| 欧拉定系 | 欧拉陀螺 |
| 马盖尔 | 角动量 |
| 阿特伍德 | 阿特伍德机 |
| 花样滑冰 | 花样滑冰（正确） |
| 金瓶掣签 | 金瓶掣签（历史课内容混入） |
| 陀螺仪 | 陀螺仪（正确） |
| 进动 | 进动（正确） |
| 守恒定律 | 守恒定律（正确） |
| 定点转动/定轴转动 | 定点转动 vs 定轴转动（正确区分） |
| 右手定则 | 右手定则（正确） |
| 平行轴定理 | 平行轴定理（正确） |
| 垂直轴定理 | 垂直轴定理（正确） |
| 瞬时静止点 | 瞬时静止点（纯滚动条件） |
| 985/211 | 985/211（闲聊内容，大学分级） |
| 单位矢量 | 单位矢量（正确） |
| 角速度矢量 | 角速度矢量（正确） |
| 切向加速度 | 切向加速度（正确） |
| 向心加速度 | 向心加速度（正确） |
| 力矩平衡 | 力矩平衡（正确） |
| 转动动能 | 转动动能（正确） |
| 平动动能 | 平动动能（正确） |
| 总动能 | 总动能（正确） |
| 滚动摩擦 | 滚动摩擦（正确） |
| 静摩擦力 | 静摩擦力（正确） |
| 动力矩 | 力矩（力矩） |
| 外力矩 | 外力矩（正确） |
| 内力矩 | 内力矩（正确） |
| 合外力矩 | 合外力矩（正确） |
| 角动量定理 | 角动量定理（正确） |
| 角动量守恒 | 角动量守恒（正确） |
| 刚体定轴转动 | 刚体定轴转动（正确） |
| 刚体定点转动 | 刚体定点转动（正确） |
| 欧拉方程 | 欧拉方程（正确） |
| 主轴 | 主轴（正确） |
| 惯量主轴 | 惯量主轴（正确） |
| 惯量椭球 | 惯量椭球（正确） |
| 角速度分量 | 角速度分量（正确） |
| 角加速度分量 | 角加速度分量（正确） |
| 矢量分解 | 矢量分解（正确） |
| 右手螺旋定则 | 右手螺旋定则（正确） |
| 转动定律 | 转动定律 M = Jα（正确） |
| 牛顿第二定律类比 | 牛顿第二定律类比（正确） |
| 转动惯性 | 转动惯性（正确） |
| 转动质量 | 转动惯量类比”转动质量”（正确） |
| 质量分布 | 质量分布（正确） |
| 转轴位置 | 转轴位置（正确） |
| 过质心轴 | 过质心轴（正确） |
| 过端点轴 | 过端点轴（正确） |
| 圆盘转动惯量 | 圆盘转动惯量 J = MR²/2（正确） |
| 圆环转动惯量 | 圆环转动惯量 J = MR²（正确） |
| 球体转动惯量 | 球体转动惯量 J = 2MR²/5（正确） |
| 球壳转动惯量 | 球壳转动惯量 J = 2MR²/3（正确） |
| 细杆转动惯量 | 细杆转动惯量 J = ML²/12 或 ML²/3（正确） |
| 注：本文档整理过程中发现大量闲聊内容（985/211大学分级讨论、考试答题技巧等），已跳过不计入笔记主体。课堂后半部分涉及陀螺仪应用、直升机尾桨、花样滑冰收臂等角动量守恒实例。 整理时间：2026-04-20 | 来源：汉王电纸本语音转文字稿 |
| 本节课为大学物理·刚体转动专题，涵盖定轴转动与定点转动的基础理论。 |