大学物理 II-1

角动量守恒与质点系的运动定理

第二章（续）· 第三章 · 郭华忠

PPT + 课堂语音整理 · 2026-04-02 · 课堂笔记

📑 目录

1. 角动量的定义与角动量定理
2. 角动量守恒定律及其应用
3. 开普勒第二定律（面积速度守恒）
4. 质点系的基本概念与质心
5. 质心的运动定理
6. 质点系的动量定理与动量守恒
7. 变质量问题：密歇尔斯基方程与火箭运动
8. 核心公式速查

第二章（续）

一、角动量的定义与角动量定理

1.1 角动量的定义

在原子物理中，电子绕原子核做圆周运动，其运动方向垂直于轨道平面。与此类比，质点的角动量（动量矩） 定义为：

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times m\vec{v}$

其中 $\vec{r}$ 为质点相对于参考点（原点）的位置矢量，$\vec{p}=m\vec{v}$ 为动量。

O r⃗ m v⃗ L⃗ （垂直纸面向上） 右手定则： 四指 r⃗ → v⃗ 拇指 → L⃗ 图1：角动量 $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ 的矢量关系 注意： 角动量是矢量 ，其方向由右手定则确定，垂直于 $\vec{r}$ 和 $\vec{v}$ 所在的平面。角动量的大小与参考点的选取 有关，脱离参考点谈角动量没有意义。

1.2 力矩的定义

$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$

力矩 $\vec{M}$ 等于位置矢量 $\vec{r}$ 与力 $\vec{F}$ 的叉乘。力矩也是矢量 ，方向由右手定则确定。

1.3 角动量定理

考察角动量随时间的变化率：

$\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times m\vec{v})=\underset{=\vec{0}}{\underbrace{\frac{d\vec{r}}{dt}\times m\vec{v}}}+\underset{=\vec{r}\times \vec{F}=\vec{M}}{\underbrace{\vec{r}\times \frac{d(m\vec{v})}{dt}}}$

第一项为零是因为 $\vec{v}\times \vec{v}=\vec{0}$（相同矢量的叉乘为零）；第二项利用牛顿第二定律 $\frac{d(m\vec{v})}{dt}=\vec{F}$。

$\boxed{\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}}$ 角动量定理： 质点所受的合外力矩 等于其角动量对时间的变化率 。积分形式（冲量矩定理）： ${\int }_{t_1}^{t_2}\vec{M}dt=\Delta \vec{L}={\vec{L}}_2-{\vec{L}}_1$ 易混淆提醒：

• $\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$ — 力矩 = 角动量的变化率 （微分形式）
• $\int \vec{M}dt=\Delta \vec{L}$ — 力矩的时间积累 = 角动量的增量 （积分形式）
• 力矩的时间积累 $\int \vec{M}dt$ 称为冲量矩

第二章（续）

二、角动量守恒定律及其应用

2.1 守恒条件

$\vec{M}=\vec{0}⟹\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}⟹\vec{L}=\text{常矢量}$ 角动量守恒定律： 当质点所受合外力矩为零 时，其角动量保持不变。与高中”合外力为零时动量守恒”形式对称。

2.2 例题：绳拉小球

题目： 光滑桌面上小球做圆周运动，绳子穿过桌面中心小孔。拉绳子使半径从 $r_1$ 变到 $r_2$，求速率关系。

光滑桌面 小孔 r₁（初始轨道） r₂ m v₁ v₂ > v₁ F（拉力） F 沿径向 → M = r×F = 0 → L 守恒 图2：绳拉小球——拉力沿径向，力矩为零，角动量守恒

分析： 拉力沿径向，$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$，角动量守恒。

$m{v}_1{r}_1=m{v}_2{r}_2⟹\boxed{v_2=v_1\cdot \frac{r_1}{r_2}}$ 结论： 半径减小 → 速率增大。与花样滑冰运动员收臂加速的原理完全相同。 展臂：r 大，v 小 r 大 ω 小 收臂：r 小，v 大 r 小 ω 大 L = mvr = 常量：r↓ → v↑ 图3：花样滑冰——展臂与收臂时角动量守恒的效果对比

2.3 天体物理：行星绕恒星运动

万有引力始终沿径向（中心力），$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$，角动量守恒。此结论对任何中心力场 成立。

第二章（续）

三、开普勒第二定律（面积速度守恒）

由角动量守恒可直接推导开普勒第二定律。行星在 $dt$ 内扫过面积近似为三角形：

$dS=\frac{1}{2}|\vec{r}\times d\vec{r}|=\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt=\frac{L}{2m}dt$ $\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=\text{const}}$ 恒星 v 大 近日点区域 （瘦长扇形） v 小 远日点区域 （矮胖扇形） 蓝色面积 = 绿色面积 （相等时间扫过相等面积） 图4：开普勒第二定律——行星在相等时间内扫过的面积相等 开普勒第二定律： 行星绕恒星运动时，相等时间内扫过的面积相等。这是角动量守恒的几何表现。
近日点：$r$ 小 → $v$ 大 → 弧”瘦长”；远日点：$r$ 大 → $v$ 小 → 弧”矮胖”。

第三章

四、质点系的基本概念与质心

4.1 为什么需要质点系？

实际问题涉及大量质点（如教室中的每个人），逐个计算不现实。引入质心 ，用质心的运动描述质点系整体运动，极大简化问题。

x y m₁ m₂ m₃ m₄ C（质心） r⃗_C = (m₁r⃗₁ + m₂r⃗₂ + m₃r⃗₃ + m₄r⃗₄) / (m₁+m₂+m₃+m₄) 图5：质心——质点系所有质点位置的”加权平均”

4.2 质心定义（离散）

${\vec{r}}_C=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\vec{r}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{\sum m_i{\vec{r}}_i}{M}$

其中 $M=\sum m_i$ 为质点系总质量。质心是各质点位置按质量加权的平均。

4.3 质心定义（连续）

${\vec{r}}_C=\frac{1}{M}\int \vec{r}dm=\frac{1}{M}\int \rho (\vec{r})\vec{r}dV$

4.4 质心速度与质心加速度

${\vec{v}}_C=\frac{d{\vec{r}}_C}{dt}=\frac{\sum m_i{\vec{v}}_i}{M}=\frac{\vec{p}}{M},{\vec{a}}_C=\frac{d{\vec{v}}_C}{dt}=\frac{\sum m_i{\vec{a}}_i}{M}=\frac{\sum {\vec{F}}_i}{M}=\frac{{\vec{F}}_{\text{ext}}}{M}$ 关键推论： 质心的加速度只取决于外力 ，与内力无关。

第三章

五、质心的运动定理

由质心加速度的表达式直接得到：

$\boxed{M{\vec{a}}_C={\vec{F}}_{\text{ext}}}$ 质心运动定理： 质点系的总质量 × 质心加速度 = 作用在质点系上的合外力 。
形式上与牛顿第二定律完全相同，但描述的是质心的运动。 注意：

• 内力不改变 质心的运动状态
• 质心运动定理在惯性系 中成立
• 质心不一定在任何一个质点上（如均匀圆环的质心在圆心）

第三章

六、质点系的动量定理与动量守恒

6.1 质点系的动量

$\vec{p}={\sum }_{i=1}^n{m}_i{\vec{v}}_i=M{\vec{v}}_C$

6.2 动量定理

${\vec{F}}_{\text{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}⟹{\int }_{t_1}^{t_2}{\vec{F}}_{\text{ext}}dt={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1$

6.3 动量守恒定律

${\vec{F}}_{\text{ext}}=\vec{0}⟹\vec{p}=M{\vec{v}}_C=\text{常矢量}$ 动量守恒定律： 当质点系所受合外力为零 时，总动量守恒（即质心速度不变）。 光滑地面 平板车（M） 小孩（m） v₁ → ← V₂ F_ext = 0 → mv₁ + MV₂ = 0 → 质心不动 图6：平板车上的小孩——人向右走，车向左退，总动量守恒

6.4 例题分析

典型问题： 人在车上行走。初始时人和车静止，人开始向右走，车向左退。由动量守恒：

$m{v}_{\text{人}}+M{v}_{\text{车}}=0⟹v_{\text{车}}=-\frac{m}{M}{v}_{\text{人}}$ 关键点： 人走动时对车的摩擦力是内力 ，不改变系统总动量。人和车的运动是相互制约的——质量越小的一方速度越大。

第三章

七、变质量问题：密歇尔斯基方程与火箭运动

7.1 变质量问题的提出

火箭在飞行过程中不断喷出燃气，质量随时间变化，不能直接用 $F=ma$。需要将燃气视为一部分质量离开主体。

7.2 密歇尔斯基方程

设 $t$ 时刻火箭质量为 $m$、速度为 $\vec{v}$，$dt$ 时间内喷出质量 $dm$（$dm<0$），燃气相对火箭速度为 $\vec{u}$（向后），则：

$m\frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\text{ext}}+\vec{u}\frac{dm}{dt}$ 密歇尔斯基方程： 右端第二项 $\vec{u}\frac{dm}{dt}$ 称为推力 （反作用力）。$\frac{dm}{dt}<0$（质量减少），推力方向与 $\vec{u}$ 相反（即向前）。

7.3 火箭运动公式

忽略外力（如重力），积分得到：

$\boxed{v=v_0+u\ln \frac{m_0}{m}}$

其中 $v_0$ 为初速度，$m_0$ 为初始质量，$m$ 为当前质量，$u$ 为燃气喷射速度。

单级火箭 有效载荷 燃料 发动机 v ↑ u ↓ 三级火箭 三级 二级 一级 v ↑ v = v₀ + u·ln(m₀/m) 质量比 m₀/m 越大，末速度越高 分级设计可逐级抛弃空壳，提高效率 三级火箭：v = v₀ + u(ln R₁ + ln R₂ + ln R₃) = u·ln(R₁R₂R₃) 图7：火箭运动——燃气喷射产生推力，分级设计可逐级抛弃空壳提高效率

7.4 齐奥尔科夫斯基公式

$\Delta v=u\ln \frac{m_0}{m}=u\ln R$

其中 $R=m_0/m$ 称为质量比 。

提高火箭速度的方法：

• 增大燃气喷射速度 $u$（化学燃料上限约 4000 m/s，离子推进更高）
• 增大质量比 $R$（分级火箭逐级抛弃空壳）
• 多级火箭：$\Delta v_{\text{总}}=u\ln (R_1{R}_2\cdots R_n)$

常见误区： 火箭的推力不靠”推空气”，而是靠反作用力 （牛顿第三定律）。在真空中火箭照样工作，甚至效率更高（无空气阻力）。

公式速查

八、核心公式速查

定理/定律	数学表达式	守恒条件
角动量定义	$\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$	—
力矩定义	$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$	—
角动量定理	$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$	—
角动量守恒	$\vec{L}=\text{常矢量}$	$\vec{M}=\vec{0}$
面积速度	$\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}$	角动量守恒
质心定义	${\vec{r}}_C=\frac{\sum m_i{\vec{r}}_i}{M}$	—
质心运动定理	$M{\vec{a}}_C={\vec{F}}_{\text{ext}}$	—
动量定理	${\vec{F}}_{\text{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}$	—
动量守恒	$\vec{p}=\text{常矢量}$	${\vec{F}}_{\text{ext}}=\vec{0}$
密歇尔斯基方程	$m\frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\text{ext}}+\vec{u}\frac{dm}{dt}$	—
火箭公式	$v=v_0+u\ln \frac{m_0}{m}$	忽略外力

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