补充：惯性系与伽利略变换

§1 惯性参照系

惯性参照系

牛顿运动定律成立的参照系称为惯性参照系（惯性系）。

• 地面参照系可视为惯性系（忽略地球自转和公转）
• 相对地面做匀速直线运动的参照系也是惯性系

非惯性参照系

牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性参照系。

• 相对地面做变速运动的参照系是非惯性系
• 非惯性系相对惯性系有加速度

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§2 惯性力

惯性力的定义

在非惯性系中，为使牛顿第二定律形式上成立，引入虚拟的惯性力：

${\vec{F}}_i=-m{\vec{a}}_0$

其中 ${\vec{a}}_0$ 是非惯性系相对于惯性系的加速度。

性质：

• 惯性力是虚拟力，没有施力者
• 没有反作用力（不满足牛顿第三定律）
• 只在非惯性系中出现

常见的惯性力

非惯性系类型	惯性力
平动加速参照系	${\vec{F}}_i=-m\vec{a}$
匀速旋转参照系	离心惯性力 ${\vec{F}}_i=m{\omega }^{2}r$（方向沿半径向外）

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§3 伽利略变换

绝对时空观

经典力学认为：

• 时间是绝对的：时间的测量与参照系无关
• 空间是绝对的：长度的测量与参照系无关

伽利略坐标变换

设 $S^{\prime }$ 系相对 $S$ 系以速度 $\vec{u}$ 沿 $x$ 方向运动，在 $t=t^{\prime }=0$ 时两原点重合：

$x^{\prime }=x-ut,y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=t$

速度变换

$\vec{v}={\vec{v}}^{\prime }+\vec{u}$

加速度变换

在匀速相对运动（$u=\text{常数}$）时：

$\vec{a}={\vec{a}}^{\prime }$

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§4 经典力学的相对性原理

相对性原理

在所有惯性系中，力学规律具有相同的数学形式。

在一个惯性系内部，无法通过任何力学实验来判断该惯性系本身是处于静止还是匀速直线运动状态。

伽利略变换的不变性

牛顿第二定律 $\vec{F}=m\vec{a}$ 经过伽利略变换后形式保持不变：

• 力 $\vec{F}$ 与参照系无关
• 质量 $m$ 与运动无关
• 加速度 $\vec{a}$ 在所有惯性系中相同

因此，牛顿第二定律具有伽利略变换不变性。

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核心结论

概念	结论
惯性系	牛顿定律成立；地面可视为惯性系
非惯性系	牛顿定律不成立；引入惯性力后形式上成立
惯性力	${\vec{F}}_i=-m{\vec{a}}_0$；虚拟力，无反作用力
伽利略变换	$x^{\prime }=x-ut,t^{\prime }=t$
速度变换	$\vec{v}={\vec{v}}^{\prime }+\vec{u}$
相对性原理	力学规律在所有惯性系中形式相同