动量定理解析
大学物理 · 力学部分 📅 2026-04-09📝 汉王电纸本录音转文字（已勘误整理）
📋 目录
- 变质量问题
- 质点系动能定理
- 保守力与势能
- 质点系功能原理与机械能守恒
- 卫星问题与黑洞概念
- 弹簧连接体问题
- 角动量定理
- 刚体运动基础
1变质量问题
1.1 一般性公式
变质量问题讨论运动主体质量随时间变化的情况，有两个等价形式：
形式一：动量形式
F = dp/dt = d(Mv)/dt
形式二：展开形式
F = M(dv/dt) + v(dm/dt)
1.2 特殊情况：吸附物速度为零
当吸附物（落链、漏斗装沙等）被吸附前速度为零时，v·dm/dt = 0，公式退化为：
F = M(dv/dt) ⚠️ 老师强调： 不要死记公式！核心是动量的增量 = 合外力对时间的积累。落链、漏斗装沙、火箭喷射，本质都是求动量增量。
📌 例题：落链问题
链条总长 L，总质量 M，从桌面边缘下垂部分开始下落，桌面有摩擦。
- 重力做功：W重力 = ∫mg·ds（对下垂部分积分）
- 摩擦力做功：W摩擦 = -∫μmg·ds（与桌上部分质量有关，随下落变化）
- 求解：用动能定理 + 微积分
💡 大学物理中，微积分是护身符。不要套公式，要理解物理过程。
2质点系动能定理
2.1 质点 vs 质点系
| 单个质点| 质点系
---|---|---
做功来源| 仅合外力做功| 合外力做功 + 内力做功
内力影响| 无| 内力成对出现，但做功不一定为零
类比| “快乐的单身汉”| “集体中的成员，彼此有相互作用”
2.2 质点系动能定理
W外 + W内 = ΔEk
2.3 内力做功（重点！）
⚠️ 关键结论： 内力虽然成对等大反向，但做功之和不一定为零！
一对内力做功 = F21·dr21，只要两质点有相对位移，内力就做了功。
📌 滑块在车板上滑动
- 摩擦力对 A 做功：-fS（力向左，位移向右）
- 摩擦力对 B 做功：f(S-L)（B 相对地面位移 S-L）
- 一对摩擦力做功之和：-fL （L 为相对滑动距离）
💡 一对内力做功 = 内力大小 × 相对位移。
3保守力与势能
3.1 保守力的定义
保守力 做功只与初始和终止位置有关，与路径无关。等价：沿任意闭合路径做功为零。 “你从一楼跑到五楼去上课，走楼梯还是绕路？不管怎么走，做的功都一样。“——老师
3.2 万有引力与库仑力的矢量形式
万有引力
F12 = -Gm1m2/r2 · er
负号：引力方向与 er 相反
库仑力
F12 = kq1q2/r2 · er
同号为正（排斥），异号为负（吸引）
矢量写法中，正负号自动决定方向，比分别讨论更优雅。
3.3 万有引力保守力的证明
W = ∫rArB (-Gm1m2/r2) dr = Gm1m2(1/rB - 1/rA)
结果只依赖始末位置 → 与路径无关 ✅
3.4 力与势能的关系
| F = -∇Ep （力等于势能梯度的负值） 保守力 | 势能 Ep | F = -dEp/dx |
|---|---|---|
| 重力 | mgh | -mg |
| 万有引力 | -Gm1m2/r | -Gm1m2/r² |
| 弹簧弹性力 | ½kx² | -kx |
| 静电力 | kq1q2/r | kq1q2/r² |
| 核心： 保守力做功 = 势能的减少量，即 W = Ep1 - Ep2 |
4质点系功能原理与机械能守恒
4.1 功能原理
将内力做功分为保守内力和非保守内力：
W外 + W非保守内 = Δ(Ek + Ep) = ΔE机械能
4.2 机械能守恒定律
当 W外 = 0 且 W非保守内 = 0 时：
Ek + Ep = 常量 ⚠️ 易错：弹簧弹性势能变量
Ep = ½k(Δx)²，Δx 是形变量，不是总长度！
原长 L₀，当前 l → Δx = l - L₀
错误：½kl² ✅ 正确：½k(l - L₀)²
5卫星问题与黑洞概念
5.1 环绕速度（第一宇宙速度）
GMm/R² = mv²/R → v = √(GM/R)
5.2 逃逸速度（第二宇宙速度）
½mv² - GMm/R = 0 → v = √(2GM/R) ≈ 11.2 km/s
v逃逸 = √2 × v环绕
💡 类比光电效应： 你想离开地球，但引力拉着你。动能足够才能逃逸。
5.3 黑洞概念
v逃逸 ≥ c → R ≤ 2GM/c²（史瓦西半径）
逃逸速度超过光速 → 连光都无法逃脱 → 黑洞。“吸收”指吸收电磁波。密度极大的天体（中子星等）都有类似效应。
6弹簧连接体问题
📌 两球-弹簧系统（光滑水平面）
两质量 m 的物体，弹簧 k 连接。给一球冲量 v₀。
- 动量守恒： mv₀ = mv + mv’ → v + v’ = v₀
- 机械能守恒： ½mv₀² = ½mv² + ½mv’² + ½k(Δx)²
- 最大压缩： v = v’ = v₀/2 时 → Δxmax = v₀√(m/2k)
📌 弹簧连接体绕轴转动
m₁、m₂ 用弹簧连接，绕中点竖直轴转动。
- 角动量守恒： 弹簧拉力沿轴线 → 力矩为零 → 角动量守恒
- 机械能守恒： 弹簧是保守力
- 联立两守恒方程 + 运动学关系求解
7角动量定理
7.1 质点角动量
L = r × p = r × mv （大小 |L| = rmv sinθ）
7.2 角动量定理
| M = dL/dt （M 为合外力矩） | 线量 | 角量 |
|---|---|---|
| 运动学 | 速度 v | 角速度 ω |
| 动力学 | 动量 p = mv | 角动量 L = r×mv |
| 力的作用 | 力 F | 力矩 M = r×F |
| 定理 | F = dp/dt | M = dL/dt |
7.3 质点系角动量定理
M外 = dL总/dt
与做功不同： 内力矩之和恒为零（内力等大反向且共线），所以只涉及合外力矩。
7.4 角动量守恒
M外 = 0 → L总 = 常量
📌 杆上双球绕中点转动
长 2a 轻杆，两端各系质量 m 小球，绕中点 O 转动。
- 两球动量方向相同（垂直于杆），角动量方向也相同
- L总 = 2amv
- 注意 v = ωr，r 是绕转轴的距离！
8刚体运动基础
8.1 刚体定义
刚体： 任意两质点间距离永不改变的理想化模型。现实物体有微小形变，但理想刚体忽略形变。
8.2 两种基本运动
平动
任意两质点连线方向不变（始终平行）。所有质点速度、加速度相同 ，可当质点处理。
定轴转动
绕固定轴转动，每质点做圆周运动。角速度相同 ，线速度不同。
8.3 定轴转动的描述
| 物理量 | 定义 | 关系 |
|---|---|---|
| 角坐标 θ | 逆时针为正 | — |
| 角速度 ω | ω = dθ/dt | 右手定则确定方向 |
| 角加速度 α | α = dω/dt | — |
| 线速度 v | — | v = ωr |
| 切向加速度 at | — | at = αr |
| 法向加速度 an | — | an = ω²r = v²/r |
| a合 = √(at² + an²) ， tanφ = an/at 💡 风力发电叶片例子： 叶片尖端的线速度远大于根部。看着慢慢转，尖端实际很快。角速度 ω 处处相同，但 v = ωr，r 越大 v 越大。 |
层层递进： 第一章学好 → 第二章就差不多 → 第三章也差不多。力学各章知识点环环相扣。
📖 大学物理笔记 · 力学 | 录音转文字整理 | 2026-04-09
笔记整理时间：2026-04-13 | 来源：汉王电纸本语音转文字（已勘误整理）