第二讲：经典 Stern-Gerlach 实验
引言：按照 投影 分离电流环
我们有一批非常小的物体，它们的行为类似电流环。我们希望通过它们等效磁针（代表电流环）在递增磁场方向上的投影来进行分离。这种分离可以让我们确定投影可以取哪些不同的值，并帮助我们理解这些粒子的性质。
棱镜类比
这种分离实验在物理学中很常见。最简单的例子：将白光射入棱镜，将其分解为彩虹光谱。
- 按颜色分离 = 按能量分离 = 按**频率**分离
- 我们的电流环实验与之类似（analogous），但按等效磁针在磁场轴上的投影进行筛选
实验装置
- 这些”电流环”实际上是原子——极其微小
- 我们将原子沿与递增磁场方向**垂直（perpendicular）**的方向射出
- 它们在磁铁附近经历一段固定时间的推或拉
- 路径的**偏转**与投影的大小（magnitude）和符号成正比（proportional）
- 在足够远处收集结果可以放大差异（类似于显微镜的效果）
- 最终实验：原子束流 → 磁铁 → 屏幕
设计经典 Stern-Gerlach 实验
Stern-Gerlach 实验装置
- Otto Stern（1943 年诺贝尔奖）和 Walter Gerlach 共同发明了此实验
- Gerlach 因与纳粹的关联被排除在诺贝尔奖之外
- 银原子以固定 速度 射入一个具有非均匀磁场的区域
- 电流环在磁场中进动，但其在递增场轴上的投影保持不变
- 结果：根据投影的不同，它们感受到向上的推力或向下的拉力
屏幕上的图样
屏幕可能出现三种情况：
- 投影随机分布——屏幕上出现连续的（continuous）弥散带
- 只有一个值——单个斑点
- 只有两个值——两个分立（discrete）的斑点
（视频演示：
sge_exp_1-01_sg_current_loops.html）
量子情况：原子总是显示出两个投影，且分裂量相同，与磁场取向（orientation）无关——这一结果无法与任何经典图像相协调。
（视频演示：
sge_exp_1-02_sg_atoms.html）
我们的理念：拥抱量子
由此产生两个关键认识：
- 量子力学与经典物理学有根本性的不同。 发生了某种意想不到的事情。我们必须将这种不同的行为纳入一个新的模型中——我们不能再强行套用经典解释。
- 量子力学是随机的（stochastic）。 我们无法预言任何一个特定粒子会发生什么；我们只能计算大量试验中各种结果的概率。
Stern-Gerlach 分析器
为了系统地研究量子行为，我们将 Stern-Gerlach 实验封装成一个紧凑的装置，称为 Stern-Gerlach 分析器。
（视频演示：
sge_exp_1-03_analyzer_intro.html）
重复测量：检验可重复性
设置： 两个分析器（A 和 B）并排放置。从 A 的 + 输出出来的原子进入 B。
关键发现： 一旦一个原子被测量为 +z，它永远会再次被测量为 +z。
（视频演示：
sge_exp_1-04_repeated_measurements.html）
- 测量结果为 -z 的原子永远会再次被测量为 -z
- 测量定义了状态；后续（subsequent）相同测量是完全可重复的
测量与量子态
核心洞见： 测量原子等效磁箭头的方向定义了那个方向。我们用蓝色和红色锥体来表示这种知识——因为磁针在一个锥面上进动，锥面上的任何方向都给出相同的投影。
状态表示：
- 来自源的原子： 没有锥体——我们对取向一无所知（任何方向等可能）
- 离开 + 输出的原子： 红色锥体朝上（沿 +z）
- 离开 - 输出的原子： 红色锥体朝下（沿 -z）
- 方向是相对的，相对于分析器内部的磁铁
将分析器 B 上下颠倒会反转 + 和 - 输出的角色，但偏转和锥体保持不变。这意味着我们必须仔细跟踪我们在测量什么以及如何测量。
垂直的 Stern-Gerlach 分析器
”投影的难题”
- 无论沿哪个方向测量，都只有两个结果是可能的
- 等效箭头的大小始终相同——与存在确定先存方向的经典观念完全矛盾
- 测量行为定义了方向是什么
实验：将分析器 B 旋转 90°
设置： 分析器 A 沿 z 轴测量。分析器 B 旋转为沿 x 轴测量。
经典预期： 由于 x 和 z 相互垂直，投影应该为零。但我们看到的并非如此。
（视频演示：
sge_exp_1-05_perpendicular_analyzers.html）
结果： 原子从 B 的两个输出中出来，各约 ~50% 的概率。
一个在 z 方向上具有已知状态的原子，在 x 方向上没有确定的状态。在新方向上的测量破坏了先前状态的确定性。
三个垂直的 Stern-Gerlach 分析器
（视频演示：
sge_exp_1-06_three_analyzers.html）
“原子很笨”
规则： 原子只记得最后一次测量其等效磁针的轴。它们患有永久性失忆症。
- 当在某个轴上测量时，原子在该轴上有投影
- 换一个轴再测量：原子现在在新轴上有投影
- 它不再在先前的轴上有任何确定投影（有两个我们稍后会遇到的特殊例外）
- 原子一次只能在一个方向上具有确定状态
任意角度的分析器
当第二个分析器处于任意（arbitrary）角度 θ（非 0°、90° 或 180°）时：
（视频演示：
sge_exp_1-07_arbitrary_angles.html）
概率遵循：
需要记住的三个关键角度：
| 角度 θ | ||
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 90° | 1/2 | 1/2 |
| 180° | 0 | 1 |
统计涨落意味着实验点不会精确地落在曲线上——特别是只有 100 次测量时。更大的样本会更接近理论曲线。
为什么必须使用概率
经典随机性与量子随机性
| 经典 | 量子 |
|---|---|
| 由于未知初始状态而显得随机 | 真正的随机 |
| 原则上可以精确追踪路径 | 无法追踪路径 |
| 底层是 确定性的 | 本质上是 概率性的 |
在量子情况下，我们在原子到达屏幕之前无法探测到它们，因此我们不知道它们的精确路径。压倒性的共识：量子结果是真正随机的，我们只能预测概率——但我们可以精确地预测这些概率。
量子测量的精度
⚠️ 不要将随机性与不精确或不可重复性混淆。
量子力学是整个科学中经过最精确检验的理论之一：
- 能级可以测量到超过 10 位有效数字的精度
- NIST 镱晶格钟的精度达到 分之 1
- 这相当于测量从华盛顿特区到洛杉矶的距离，精度达到单个原子的宽度
最精确的量子测量通常涉及：
- 两个事件之间的时间
- 光子的频率/颜色
决定论的终结
量子现象（phenomena）没有经典描述。量子事件具有不可避免的随机性。
这两个事实动摇了决定论的哲学基础。量子世界显然不是决定性的——每当进行测量时，随机性就是其固有的属性。
要点总结
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Stern-Gerlach 实验揭示了量子化： 银原子在屏幕上总是产生恰好两个分立的斑点，对应两个可能的投影——永远不会出现连续分布。
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测量定义量子态： 沿着给定轴测量投影的行为本身迫使原子进入沿该轴的确定状态。沿同一轴的重复测量是完全可重复的。
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“原子很笨”： 原子只记得最后一次测量的轴。沿新轴测量会摧毁先前轴上的任何确定投影。
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量子概率遵循 ： 旋转角度 后得到正结果的概率精确为 。三个特殊情况（0°、90°、180°）分别给出概率 1、1/2 和 0。
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量子随机性不意味着不精确： 量子力学是整个科学中经过最精确检验的理论——能级和原子钟频率等量可以测量到超过 10 位有效数字的精度。