📐 空间解析几何概念闪卡

点击卡片翻转查看答案。涵盖向量运算、平面直线、曲面判别核心概念。配合第七章笔记使用，建议每天复习 8-12 张。

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向量基础

向量是什么？零向量有何特性？ 入门

向量 = 大小 + 方向。零向量 $\vec{0}$：模为 0，方向任意。

单位向量：模为 1，只含方向信息。向量的单位化 = 除以模。

$\vec{a} \parallel \vec{b}$ 的充要条件？（定理 1） 入门

$\vec{a}\parallel \vec{b}$（含共线） $⟺\exists !\lambda :\vec{b}=\lambda \vec{a}$（前提：$\vec{a}\ne \vec{0}$）

坐标条件下：$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$。分母为 0 时，对应分子也必须为 0。

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面的判定方法有哪些？ 进阶

1. 混合积为零：$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$（充要条件）
2. 线性表出：$\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$（前提 $\vec{a}\nparallel \vec{b}$）
3. 坐标：三阶行列式值为 0

空间向量基本定理：任意向量 $\vec{r}$ 都可以由三个不共面的向量唯一线性表出 → 这就是坐标系的数学基础。

方向余弦的三个核心结论？ 入门

$\cos \alpha =\frac{a_1}{|\vec{a}|},\cos \beta =\frac{a_2}{|\vec{a}|},\cos \gamma =\frac{a_3}{|\vec{a}|}$

1. 恒等式：${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$（无条件成立）
2. 单位化 = 方向余弦：$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$

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点积、叉积、混合积

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ 和 $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ 各判定什么？ 入门

条件	判定	注意事项
$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$	$\vec{a}\perp \vec{b}$	结果为标量 0
$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$	$\vec{a}\parallel \vec{b}$	结果为向量 $\vec{0}$

⚠️ $0\ne \vec{0}$！叉积得向量零，不是标量零。

叉积的几何意义是什么？ 入门

• $|\vec{a}\times \vec{b}|$ = 以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积
• $\boxed{S_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}$ — 三角形面积
• 方向由右手法则确定：四指从 $\vec{a}$ 弯向 $\vec{b}$，拇指所指即为方向
• 反交换律：$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$

混合积 $[\vec{a}\;\vec{b}\;\vec{c}]$ 的几何意义？ 入门

• $|[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]|$ = 以 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为棱的平行六面体体积
• 四面体体积：$\boxed{V=\frac{1}{6}|[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]|}$
• 轮换不变：$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$
• 对调两向量变号

点积不满足消去律是什么意思？ 进阶

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 不能约去 $\vec{a}$ 推出 $\vec{b}=\vec{c}$。

只能推出：$\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$，即 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$。

向量点积和数的乘法不同，没有消去律。

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平面与直线：方程形式

何时用平面点法式？一般式的法向量是什么？ 入门

点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ — 已知一点 + 法向量

一般式：$Ax+By+Cz+D=0$，法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$

截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ — 已知三轴截距

⚠️ 截距式不能表示过原点、平行坐标轴、平行坐标面的平面。

直线有哪四种方程形式？ 入门

形式	何时用
点向式 $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$	已知一点 + 方向
参数式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}$	代入运算（求交点）
两点式	已知两点
交面式 $\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$	直线作为两平面交线

⚠️ 点向式分母为 0 有意义。如 $\frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ 表示 $x\equiv 1$ 恒定。

一般式 $Ax+By+Cz+D=0$ 系数与平面位置的关系？ 入门

条件	含义
$D=0$	平面过原点
$A=0$	平面平行于 $x$ 轴
$A=D=0$	平面过 $x$ 轴
$A=B=0$	平面平行于 $xOy$ 面（水平面 $z=\text{const}$）

平面束是什么？何时用？ 进阶

平面束：$({\Pi }_1)+\lambda ({\Pi }_2)=0$

即 $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$

用于：已知该平面过两已知平面的交线，需要利用另一条件确定 $\lambda$。

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距离与夹角

距离公式速记方法？ 入门

求什么	公式	记忆法
点到平面	$d=\frac{\Vert A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\Vert }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	代入 ÷ 法向量模
点到直线	$d=\frac{\Vert \overrightarrow{M_{0}P}\times \vec{s}\Vert }{\Vert \vec{s}\Vert }$	面积÷底=高
异面直线	$d=\frac{\Vert [{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]\Vert }{\Vert {\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2\Vert }$	体积÷底面积=高

直线到平面的距离如何计算？ 进阶

先判后算：

1. 若 $\vec{n}\cdot \vec{v}\ne 0$ → 相交，$d=0$
2. 若 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$ 且点在面上 → 直线在平面内，$d=0$
3. 若 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$ 且点不在面上 → 平行，$d=$ 直线上任一点到平面的距离

为什么平行时任一点都行？因为 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$，沿着直线走不会改变点到平面的距离。

线面夹角为什么用 $\sin$？ 入门

$\sin \phi =\frac{|\vec{s}\cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$

用 $\sin$ 不是 $\cos$！

记忆诀窍：法向量和方向越”接近平行” → 直线越”接近垂直”平面 → 角越大。

夹角类型	用
两平面间	$\cos$
两直线间	$\cos$
直线与平面	$\sin$

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曲面识别

旋转曲面方程怎么写？ 入门

$yOz$ 面上曲线 $F(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴旋转：

$\boxed{F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0}$

口诀：绕哪根轴，那个轴的坐标不变，另一个坐标换为 $\pm \sqrt{\text{其余两坐标平方和}}$。

柱面和锥面怎么判定？ 入门

柱面：方程中缺少哪个变量，母线就平行于哪根轴。

⚠️ $x^2+y^2=R^2$ 在空间是圆柱面，不是圆！圆要加 $z=0$。

锥面：方程满足 $F(tx,ty,tz)=t^{n}F(x,y,z)$（齐次）⇔ 以原点为顶点的锥面。

六种标准二次曲面怎么一眼认出？ 入门

特征	曲面
三项全正（$+++$）	椭球面
两正一负（$++-$）	单叶双曲面（沙漏/冷却塔）
一正两负（$+--$）	双叶双曲面（两顶对扣的碗）
齐次 $=z^2$	椭圆锥面（两个冰淇淋筒尖对尖）
$z=$ 二次项，同号	椭圆抛物面（碗/卫星锅）
$z=$ 二次项，异号	双曲抛物面（马鞍）

口诀：全正椭球、一负单叶、两负双叶、齐次为锥、$z$ 一次同号碗异号马鞍。

$z = xy$ 是什么曲面？为什么？ 进阶

马鞍面（双曲抛物面）。

证明方法：

1. 二次型矩阵：$A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，特征值 $0,+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ → 一正一负一零 = 马鞍面
2. 旋转 45°：坐标变换 $x=\frac{u-v}{\sqrt{2}},y=\frac{u+v}{\sqrt{2}}$，代入得 $z=\frac{u^2-v^2}{2}$ → 标准马鞍面

曲线投影怎么求？ 入门

投影到	操作	结果
$xOy$	消 $z$	$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}$
$zOx$	消 $y$	$\{\begin{array}{l}R(x,z)=0\\ y=0\end{array}$
$yOz$	消 $x$	$\{\begin{array}{l}S(y,z)=0\\ x=0\end{array}$

消元 = 做”阳光投影”——去掉一个坐标，影子就落在对应的坐标面上。

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二次型矩阵判别法

如何用特征值快速判别曲面类型？ 进阶

1. 把方程写成 $F(x,y,z)=0$，提取二次型矩阵 A：
   • 平方项系数 → 对角线
   • 交叉项系数 ÷ 2 → 对称位置
2. 求 A 的三个特征值
3. 查表：特征值正负号组合 + 是否齐次 → 唯一确定曲面

特征值	曲面
$+++$	椭球面
$++-$	单叶双曲面
$+--$	双叶双曲面
$++0$	椭圆抛物面
$+-0$	马鞍面

"z = f(x,y)" 型曲面的速判规则？ 入门

$z$ 没有平方项 ⇒ 第三个特征值必为 0。

此时只看前两个非零特征值：

• 同号 → 椭圆抛物面（碗）
• 异号 → 马鞍面

例：$z=x^2+y^2$ → 特征值 $1,1,0$ → 同号 → 椭圆抛物面 ✓ 例：$z=xy$ → 特征值 $+\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0$ → 异号 → 马鞍面 ✓

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过线且平行于另一线的平面

求过 $\ell_1$ 且 $\parallel \ell_2$ 的平面方程，口诀是什么？ 进阶

核心：$\boxed{\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2}$（两次叉积）

步骤	操作
①	从 ${\ell }_1$ 点向式读 $P_1$, ${\mathbf{v}}_1$
②	从 ${\ell }_2$ 交面式求 ${\mathbf{v}}_2={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$
③	$\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2$
④	点法式：$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-P_1)=0$

什么叫法平面？和切平面有什么区别？ 进阶

法平面（对空间曲线）：以曲线切向量 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t_0)$ 为法向量的平面。

${\mathbf{r}}^{\prime }(t_0)\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}(t_0))=0$

	对象	平面名	法向量
曲线	空间曲线	法平面	切向量 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$
曲面	空间曲面	切平面	法向量 $(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$

记忆：“法”和”切”是反的！

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💡 共 27 张闪卡，涵盖空间解析几何全部核心概念。配合第七章笔记的闪卡速记表使用效果更佳。