第十一章 无穷级数（完整版）

第十一章 无穷级数

🗺️ 全章直觉地图：第十章把积分从”直”推向”曲”；第十一章处理另一个根本问题——无穷多项加起来会怎样？ 有限加法小学生都会，但无穷多项相加可能等于有限数（收敛），也可能炸飞（发散）。级数理论就是回答”无穷和”问题的。全章分两大块：常数项级数（§11.1–11.2）判断敛散性；函数项级数/幂级数（§11.3）把函数写成无穷多项式。

📖 建议阅读顺序

第一阶段（数项级数基础）：§11.1 → §11.2.1（正项级数审敛法）
第二阶段（任意项级数）：§11.2.2（交错）→ §11.2.3（绝对/条件收敛）
第三阶段（幂级数）：§11.3.1（收敛域）→ §11.3.2（和函数）
第四阶段（展开）：§11.3.4（泰勒级数）→ 回看§11.3.2，练习展开+求和互逆

节	主题	核心内容
§11.1	常数项级数概念与性质	收敛定义、等比/调和级数、拆项相消、必要性条件
§11.2.1	正项级数审敛法	5种方法：比较/比值/根值/积分/基本定理
§11.2.2–3	交错+任意项审敛法	莱布尼茨法、绝对/条件收敛
§11.3.1	幂级数—收敛域	Abel定理、收敛半径3种求法、端点验证
§11.3.2	幂级数—和函数	逐项求导/积分、四则运算、求和四大方法
§11.3.4	泰勒级数	9个必背麦克劳林展开式、直接/间接展开法

💡 学完这章你会发现：有极限的无穷加法 = 收敛级数，与数列极限一脉相承。常数项级数是”判断鸡蛋能不能吃”，幂级数是”把鸡蛋做成各种菜”。

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§11.1 常数项级数的概念与性质

基本定义

芝诺悖论（引子）：一个人从 0 走到 1。先走一半（$\frac{1}{2}$），再走剩下的一半（$\frac{1}{4}$），再剩下的一半（$\frac{1}{8}$）……每步走 $\frac{1}{2^n}$。

前 $n$ 步共走了多少？求部分和：

$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n}\stackrel{\text{等比求和}}{=}\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$

当 $n\to \infty$，$S_n\to 1$。这就是”无穷多项相加等于有限数”——不是真的加无穷次，而是前 $n$ 项和的极限。

这就是级数的核心定义 ⬇

常数项级数：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$

部分和：$S_n={\sum }_{k=1}^n{u}_k$。级数的和 $=\lim S_n$。

概念	定义
收敛	$\lim S_n=S$（有限数），$S$ 为和
发散	$\{S_n\}$ 无有限极限
余项	$r_n=S-S_n={\sum }_{k=n+1}^{\infty }{u}_k$

🎯 级数问题 = 部分和数列极限问题。 比如数列 $a_n=\frac{n}{n+1}$，构造级数：首项 $a_1=\frac{1}{2}$，$n\ge 2$ 时 $u_n=a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n(n+1)}$，则 $\sum u_n$ 的部分和正好 $=a_n$。级数和数列本质上是一个东西的两种写法。

两个必须熟记的级数

级数	条件	结论	和
等比级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }a{q}^n$	$\Vert q\Vert <1$	✅ 收敛	$\frac{a}{1-q}$
	$\Vert q\Vert \ge 1$	❌ 发散	—
调和级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$	—	❌ 发散	—

⚠️ 调和级数：通项→0但级数发散——“收敛的必要条件是通项→0”的最重要反例。

拆项相消法（定义法核心技巧）

裂项让中间项正负相消，部分和只剩首尾：

• $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ → $S_n=1-\frac{1}{n+1}\to 1$
• 练一练：$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$ → $S_n=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\to \frac{3}{4}$

四条基本性质

性质	内容
线性	收敛+收敛=收敛；收敛+发散=发散；发散+发散=不一定
有限项	去掉/增加/改变有限项不改变敛散性（和可能变）
加括号	收敛级数加括号仍收敛；括号收敛≠原级数收敛（正项级数例外）
必要条件★	$\sum u_n$ 收敛 ⇒ $\lim u_n=0$。逆否：$\lim u_n\ne 0$ ⇒ 发散！

手把手例题

例：求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n+(-1{)}^n}{8^n}$ 的和。

步骤	操作
①拆	$=\sum (1/4{)}^n+\sum (-1/8{)}^n$（两个等比级数）
②判	$q_1=\frac{1}{4}<1$, $q_2=
③和	$=\frac{1/4}{1-1/4}+\frac{-1/8}{1-(-1/8)}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$

✅ 本节检查：读完后你应该能——

• 定义级数收敛（部分和数列有有限极限）
• 判断等比级数敛散并求和
• 用必要条件（$\lim u_n\ne 0\Rightarrow$ 发散）快速排除
• 用拆项相消法求至少一种级数的精确和
• 解释为什么调和级数发散但通项→0

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§11.2 常数项级数的审敛法

🏔️ 直觉：知道”什么是收敛” ≠ 能判断一个级数是否收敛。审敛法 = 在不同条件下比较”谁更接近收敛/发散”。

§11.2.1 正项级数审敛法

基本定理

正项级数（$u_n\ge 0$）收敛 ⇔ 部分和数列有界（单调递增+有界=收敛）。

用法：很少直接用——更像”理论地基”。实际操作中我们用下面更趁手的工具。

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A. 不需要 $\rho$ 的方法（比较法 & 积分法）

比较审敛法

形式	条件	结论
特殊形式	$u_n\le v_n$（对所有 $n$）	大收敛→小收敛；小发散→大发散
极限形式★	$\lim \frac{u_n}{v_n}=l$	见下表

极限形式的三种结果：

$l$	结论	口诀
$0<l<\infty$	$\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散	”非零有限一起走”
$l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛	$\sum u_n$ 收敛	”$u_n$ 比参照更小→更收敛”
$l=\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散	$\sum u_n$ 发散	”$u_n$ 比参照更大→更发散”

🎯 选题策略：先看 $u_n$ 的无穷小阶数。$u_n\sim \frac{C}{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散。

积分审敛法

定理：$f(x)$ 在 $[1,\infty )$ 上非负、单调递减、连续，则 $\sum f(n)$ 与 ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 同敛散。

🎯 口诀：级数积分一家亲，单调递减同敛散。

经典应用：

$f(x)$	级数	积分	结论
$\frac{1}{x^p}$	$\sum \frac{1}{n^p}$	${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^p}$	$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
$\frac{1}{x{\ln }^{\beta }x}$	${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{\ln }^{\beta }n}$	${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{\beta }x}$	$\beta >1$ 收敛，$\beta \le 1$ 发散

推广结论（考研必备，证明来自积分法）：

级数	收敛	发散
$\sum 1/(n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n)$	$\alpha >1$；或 $\alpha =1$ 且 $\beta >1$	其余

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B. 需要 $\rho$ 的方法（比值法 & 根值法）

这两种方法的判定规则完全一致——设 $\rho =$ 对应的极限：

$\rho$	结论
$\rho <1$	绝对收敛（正项时即收敛）
$\rho >1$ 或 $\rho =\infty$	发散（且 $\lim u_n\ne 0$）
$\rho =1$	⚠️ 失效（如 $p$-级数，$\rho$ 恒为 1，但敛散视 $p$ 而定）

方法	$\rho$ 的定义	适用场景	口诀
比值法（达朗贝尔）	$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert \frac{u_{n+1}}{u_n}\Vert$	含 $n!$、$a^n$	“阶乘指数找比值”
根值法（柯西）	$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\Vert u_n\Vert }$	含 $[f(n){]}^n$	“整体n次方找根值”

💡 比值法有极限 ⇒ 根值法也有（同值）。但根值法更广——比值法振荡时根值法可能仍可用。

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标准参照级数（比较法的”标尺”）

级数	收敛	发散
$\sum 1/n^p$（$p$-级数）	$p>1$	$p\le 1$
$\sum a{q}^n$（几何级数）	$\Vert q\Vert <1$	$\Vert q\Vert \ge 1$

手把手例题

例1（比较法）：判别 $\sum \sin \frac{1}{n}$。

步骤	操作
① 分析通项	$\sin \frac{1}{n}>0$，正项级数
② 等价无穷小	$n\to \infty$ 时 $\sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}$
③ 参照	$\sum \frac{1}{n}$ 是调和级数 → 发散
④ 极限形式	$\lim \frac{\sin (1/n)}{1/n}=1\in (0,\infty )$ → 同敛散
⑤ 结论	❌ 发散

例2（比值法）：判别 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n}{n!}$。

步骤	操作
① 写通项	$u_n=\frac{3^n}{n!}$
② 算后前比	$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{3^n}$
③ 约 $n!$	$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$，约分得 $\frac{3}{n+1}$
④ 取极限	$\rho ={\lim }_{n\to \infty }\frac{3}{n+1}=0$
⑤ 判定	$\rho =0<1$ → ✅ 绝对收敛

💡 为什么约分得 $\frac{3}{n+1}$？因为 $\frac{3^{n+1}}{3^n}=3$，$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}$。

§11.2.2 交错级数 — 莱布尼茨审敛法

形如 $\sum (-1{)}^{n-1}{u}_n$（$u_n>0$），若同时满足：

1. $u_{n+1}\le u_n$（单调递减）
2. $\lim u_n=0$（趋于零）

则级数收敛，且和 $S\le u_1$，余项 $|r_n|\le u_{n+1}$。

🎯 口诀：单调递减趋于零，莱布尼茨就判定。

⚠️ 仅 $\lim u_n=0$ 而不单调递减 → 不一定收敛！

例3（莱布尼茨）：$\sum (-1{)}^n\frac{1}{\ln n}$。$1/\ln n$ 单调递减且→0 → ✅ 收敛。绝对值 $\sum 1/\ln n>\sum 1/n$ 发散 → 条件收敛。

§11.2.3 任意项级数 — 绝对收敛与条件收敛

定义	条件
绝对收敛	$\sum \Vert u_n\Vert$ 收敛 ⇒ $\sum u_n$ 必收敛
条件收敛	$\sum \Vert u_n\Vert$ 发散，但 $\sum u_n$ 收敛

🎯 实战套路：任意项级数 → 先取绝对值 $\sum \Vert u_n\Vert$ → 用正项审敛法判断 → 若收敛则绝对收敛，一步到位！

运算	结论
绝对收敛 + 绝对收敛	绝对收敛
绝对收敛 + 条件收敛	条件收敛
绝对收敛 → 可任意重排，和不变	条件收敛不能随意重排（项的次序变了和就可能变——无穷和与有限加法的根本区别。考试不考重排，知道”绝对收敛随便排”就够了）

✅ 本节检查：读完后你应该能——

• 用比较法（极限形式）判断级数敛散：找到参照 $p$-级数
• 用比值法和根值法判断：算出 $\rho$，对照 $\rho <1$/$\rho >1$/$\rho =1$
• 说出 $\rho =1$ 时为什么失效（$p$-级数对所有 $p$ 都有 $\rho =1$，但敛散不同）
• 用莱布尼茨法判断交错级数：验证单调递减 + 趋于零
• 区分绝对收敛和条件收敛：先取绝对值判断 |

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§11.3.1 幂级数—收敛域

从函数项级数到幂级数

函数项级数：$\sum u_n(x)$，以 $x$ 为参数的数项级数。

幂级数标准形式：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$

• 收敛点全体 → 收敛域；发散点全体 → 发散域
• 在收敛域上定义和函数：$S(x)=\sum a_n{x}^n$

Abel 定理

若 $\sum a_n{x}^n$ 在 $x=x_0\ne 0$ 处收敛，则对 $|x|<|x_0|$ 绝对收敛；在 $x_0$ 发散，则对 $|x|>|x_0|$ 发散。存在收敛半径 $R$：

 发散 ←——|—————— 绝对收敛 ——————|——→ 发散
        -R        0         R

$R$	收敛域
$R=0$	仅 $x=0$
$R=+\infty$	$(-\infty ,\infty )$
有限正 $R$	$(-R,R)$ + 收敛的端点

收敛半径求法

方法	公式	适用
比值法	$\rho =\lim \Vert a_{n+1}/a_n\Vert$，$R=1/\rho$	系数无零
根值法	$\rho =\lim \sqrt[n]{\Vert a_n\Vert }$，$R=1/\rho$	根值更广
缺项直接法★	直接令 $\lim \Vert u_{n+1}(x)/u_n(x)\Vert <1$ 解 $x$	缺奇/偶次幂项

求收敛域三步

1. 求收敛半径 $R$ → 收敛区间 $(x_0-R,x_0+R)$
2. 分别验证端点（代入为数项级数，用§11.2审敛法判断）
3. 写出收敛域 = 区间 + 收敛的端点

手把手例题

例：求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 的收敛域。

步骤	操作
①求$R$	$\rho =\lim \frac{1/(n+1)}{1/n}=1$ → $R=1$
②端点	$x=1$：$\sum 1/n$ 发散；$x=-1$：$\sum (-1{)}^n/n$ 条件收敛
③域	$[-1,1)$

✅ 本节检查：读完后你应该能——

• 解释 Abel 定理：为什么收敛域是对称区间
• 用比值/根值法求收敛半径 $R$
• 处理缺项幂级数（直接法）
• 验证端点并写出完整的收敛域

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§11.3.2 幂级数—和函数

核心定理：逐项求导与逐项积分 ⭐

设 $\sum a_n{x}^n$ 收敛半径 $R$，和函数 $S(x)$。在 $(-R,R)$ 内：

操作	公式	收敛半径
逐项求导	$S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$	不变
逐项积分	${\int }_0^{x}S(t)dt={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$	不变

⚠️ 端点变化：求导可能使收敛端点变发散（“变差”）；积分可能使发散端点变收敛（“变好”）。

四则运算

运算	收敛半径
加减	$R_1\ne R_2$：$R=\min (R_1,R_2)$；$R_1=R_2$：可能更大（系数相消）
柯西乘积	$c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$，$R\ge \min (R_1,R_2)$

求和函数四种方法

方法	策略	典型场景	操作前	操作后（核心）
已知展开式	直接匹配	恰好匹配	—	—
逐项求导★	求导把 $n$ 提到系数 → 化成已知级数 → 积分回去	$\sum n{x}^n$	需消掉系数中的 $n$，求导让它进指数
逐项积分★	积分把系数中的 $n$ 塞进分母 → 化成已知级数 → 求导回去	$\sum n(n+1)x^n$	需消掉系数中的多余 $n$，积分消系数
微分方程	建 $S(x)$ 的 ODE → 求解	含阶乘的复杂级数	—	—

💡 为什么求导/积分能帮忙？ 举个具体例子：

${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^n$ —— 系数有个多余的 $n$，太碍眼。

如果先积分一次：$\int n{x}^{n}dx=\frac{n}{n+1}{x}^{n+1}$，$n$ 没消干净。

反过来，先对 $\sum x^n=\frac{1}{1-x}$ 求导：$\sum n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$，$n$ 提到指数上！

🎯 规律：系数有 $n$ → 从几何级数求导；分母有 $n$ → 从几何级数积分。

常见和函数速查

#	级数	和函数	收敛域
1	$\sum x^n$	$\frac{1}{1-x}$	$(-1,1)$
2	$\sum n{x}^{n-1}$	$\frac{1}{(1-x{)}^2}$	$(-1,1)$
3	$\sum \frac{x^n}{n}$	$-\ln (1-x)$	$[-1,1)$
4	$\sum (-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$	$\ln (1+x)$	$(-1,1]$
5	$\sum (-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$\arctan x$	$[-1,1]$
6	$\sum \frac{x^n}{n!}$	$e^x$	$(-\infty ,\infty )$

手把手例题

例：求 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$ 的和函数。

步骤	操作
①已知	${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$（$\Vert x\Vert <1$）
②求导	${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$
③乘$x$	${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$，$\Vert x\Vert <1$

🧪 快速验证：取 $x=0.5$，代入级数前几项 $0.5+2\cdot 0.25+3\cdot 0.125+\cdots =2$；和函数 $\frac{0.5}{(1-0.5{)}^2}=\frac{0.5}{0.25}=2$ ✅

✅ 本节检查：读完后你应该能——

• 用逐项求导法求和（系数有 $n$ → 从 $\sum x^n$ 求导 → 乘 $x$ → 得结果）
• 用逐项积分法求和（分母有 $n$ → 从 $\sum x^{n-1}$ 积分 → 得结果）
• 套用常见和函数速查表（6条）
• 两个幂级数做四则运算时判断收敛半径变化

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§11.3.4 泰勒级数

问题的提出

幂级数 → 和函数（正向）。反向：给定 $f(x)$，能否在 $x_0$ 附近展开为幂级数？

必要条件：$f(x)$ 在 $x_0$ 邻域内任意阶可导。

从泰勒公式到泰勒级数

泰勒公式（有限项，来自上册）：

$f(x)=\underset{P_n(x)\text{ — 泰勒多项式}}{\underbrace{\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k}}+\underset{R_n(x)\text{ — 拉格朗日余项}}{\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}}$

📌 泰勒公式是有限项 + 余项——$P_n(x)$ 是对 $f(x)$ 的 $n$ 次多项式近似，$R_n(x)$ 是误差。

泰勒级数（无穷项——本章新内容）：

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

核心：$f(x)=\text{泰勒级数}⟺{\lim }_{n\to \infty }{R}_n(x)=0$。级数写出来 ≠ 自动等于原函数！

⚠️ 经典反例：$f(x)=e^{-1/x^2}$（$x\ne 0$），$f(0)=0$。可以验证 $f^{(n)}(0)=0$，泰勒级数为 $0$，但 $f(x)\ne 0$（$x\ne 0$）——余项不→0。

麦克劳林级数：$x_0=0$ 的特例。

★ 必须熟记的麦克劳林展开式

#	函数	展开式（前几项）	收敛域
1	$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$	$(-\infty ,\infty )$
2	$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$	$(-\infty ,\infty )$
3	$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$	$(-\infty ,\infty )$
4	$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+\cdots$	$(-1,1)$
5	$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2-x^3+\cdots$	$(-1,1)$
6	$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$	$(-1,1]$
7	$(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots$	$(-1,1)$
8	$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$	$[-1,1]$

🎯 奇偶性：奇函数只有奇次项（$\sin x$, $\arctan x$）；偶函数只有偶次项（$\cos x$, $e^{x^2}$）。

展开方法

方法	步骤	适用
直接法	求 $f^{(n)}(0)$ → 写系数 → 验证余项→0	导数易求
间接法★	利用已知展开式 + 换元/求导/积分/四则运算	最常用

例：$\frac{1}{(1-x{)}^2}$ 展开：已知 $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$，逐项求导 → $\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum (n+1)x^n$，$|x|<1$。

✅ 本节检查：读完后你应该能——

• 背出 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln (1+x)$, $\arctan x$ 的麦克劳林展开式及收敛域
• 用直接法展开简单函数（如 $e^{2x}$）
• 用间接法展开函数（换元/求导/积分/拆分）
• 解释泰勒级数与泰勒公式的区别：有限项 vs 无穷项，都有余项，但泰勒级数要求余项→0

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📇 综合闪卡速记（30条）

常数项级数基础 (§11.1)

| Q1 | 级数收敛怎么判定？ | 部分和数列 $\{S_n\}$ 有有限极限 | | Q2 | 等比级数何时收敛？和是多少？ | $\Vert q\Vert <1$ 收敛，和 $\frac{a}{1-q}$；$\Vert q\Vert \ge 1$ 发散 | | Q3 | 调和级数 $\sum 1/n$ 收敛吗？ | ❌ 发散——通项→0但级数发散的重要反例 | | Q4 | 收敛的必要条件怎么用？ | $\sum u_n$ 收敛 ⇒ $\lim u_n=0$。逆否：$\lim u_n\ne 0$ ⇒ 发散 | | Q5 | 拆项相消怎么做？ | 把 $u_n$ 裂成 $a_n-a_{n+1}$，部分和只剩 $a_1-a_{n+1}$ |

审敛法 (§11.2)

| Q6 | 比较审敛法极限形式三种结果？ | $0<l<\infty$→同敛散；$l=0$跟收敛；$l=\infty$跟发散 | | Q7 | 比值法 $\rho <1$/$\rho >1$/$\rho =1$？ | $<1$绝对收；$>1$发散；$=1$失效（如$p$-级数） | | Q8 | 根值法和比值法谁更广？ | 根值法更广（比值有极限则根值也有，反之不然） | | Q9 | $p$-级数 $\sum 1/n^p$ 结论？ | $p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散（$p=1$为调和级数） | | Q10 | 莱布尼茨审敛法两个条件？ | ①单调递减 ②趋于零。缺一不可！ | | Q11 | 如何区分绝对收敛和条件收敛？ | 先看 $\sum \Vert u_n\Vert$：收敛→绝对；发散但$\sum u_n$收→条件 | | Q12 | 绝对收敛有什么好处？ | 可任意重排和不变；正项审敛法全可用 |

幂级数 (§11.3.1–2)

| Q13 | Abel 定理的核心结论？ | 存在收敛半径 $R$，$(-R,R)$ 内绝对收敛，外部发散 | | Q14 | 收敛半径三种求法？ | 比值法 $\lim \Vert a_{n+1}/a_n\Vert$；根值法 $\lim \sqrt[n]{\Vert a_n\Vert }$；缺项直接 $\lim \Vert u_{n+1}/u_n\Vert <1$ | | Q15 | 求完整收敛域三步？ | ①求$R$得区间 ②分别验证端点 ③写出收敛域 | | Q16 | 逐项求导/积分后收敛半径？ | 不变。端点”求导变差，积分变好” | | Q17 | $\sum n{x}^n$ 怎么求和？ | 从 $\sum x^n=1/(1-x)$ 求导 → 乘$x$ → $x/(1-x{)}^2$ | | Q18 | $\sum x^n/n$ 怎么求和？ | 从 $\sum x^{n-1}=1/(1-x)$ 积分 → $-\ln (1-x)$ |

泰勒级数 (§11.3.4)

| Q19 | $e^x$ 展开式？收敛域？ | $\sum x^n/n!$，$(-\infty ,\infty )$ | | Q20 | $\sin x$, $\cos x$ 展开式？ | $\sin x=\sum (-1{)}^n{x}^{2n+1}/(2n+1)!$；$\cos x=\sum (-1{)}^n{x}^{2n}/(2n)!$；均$(-\infty ,\infty )$ | | Q21 | $\ln (1+x)$ 展开式？收敛域？ | $\sum (-1{)}^{n-1}{x}^n/n$，$(-1,1]$ | | Q22 | $\arctan x$ 展开式？收敛域？ | $\sum (-1{)}^n{x}^{2n+1}/(2n+1)$，$[-1,1]$ | | Q23 | 直接展开 vs 间接展开？ | 直接法：求导→写系数→验证余项；间接法★：利用已知展开式+换元/求导/积分 | | Q24 | 泰勒级数写出来就等原函数？ | ❌ 需验证 $\lim R_n(x)=0$。如 $e^{-1/x^2}$ 在0展开全零但不等于0 |

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🧪 综合自测题

A 组 — 概念判断 (20 题)

#	题目	答案
A1	级数收敛 ⇔ 部分和数列有极限。	✅
A2	$\sum q^n$ 对任意 $q$ 都收敛。	❌（仅 $\Vert q\Vert <1$）
A3	若 $\lim u_n=0$，则 $\sum u_n$ 收敛。	❌（调和级数反例）
A4	若 $\lim u_n\ne 0$，则 $\sum u_n$ 发散。	✅
A5	收敛+收敛=收敛。	✅
A6	发散+发散=发散。	❌（$1+(-1)=0$收敛）
A7	正项级数收敛 ⇔ 部分和有界。	✅
A8	$p$-级数 $\sum 1/n^p$，$p=2$ 时收敛。	✅
A9	比值法 $\rho =1$ 时级数发散。	❌（失效）
A10	莱布尼茨审敛法只需 $\lim u_n=0$。	❌（还需单调递减）
A11	绝对收敛 ⇒ 收敛。	✅
A12	条件收敛的绝对值级数一定发散。	✅
A13	幂级数收敛域是对称区间。	✅
A14	缺项幂级数可用系数比值法。	❌（用直接法）
A15	逐项求导后收敛半径不变。	✅
A16	逐项求导后端点的收敛性可能变。	✅
A17	$e^x=\sum x^n/n!$ 对所有实数成立。	✅
A18	$\ln (1+x)$ 的展开在 $x=1$ 处收敛。	✅（$(-1,1]$含1）
A19	泰勒级数写出即等于原函数。	❌（需验证余项→0）
A20	幂级数在收敛区间内可逐项求导任意次。	✅

B 组 — 基本计算 (20 题)

B1 判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}$ 敛散性，若收敛求和。

B2 判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}$ 的敛散性。

B3 用拆项法求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 的和。

B4 用比较法判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$ 的敛散性。

B5 用比值法判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n!}$ 的敛散性。

B6 用根值法判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{n}{2n+1}\right)}^n$ 的敛散性。

B7 用莱布尼茨法判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性及收敛类型。

B8 判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos n}{n^2}$ 的敛散性。

B9 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 的收敛域。

B10 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(x-1{)}^n}{n\cdot 2^n}$ 的收敛域。

B11 求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}{x}^{2n}$ 的收敛半径。

B12 已知 $\sum a_n{x}^n$ 在 $x=2$ 处条件收敛，求收敛半径 $R$。

B13 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^n$ 的和函数。

B14 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n+1}$ 的和函数。

B15 求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)x^n$ 的和函数。

B16 写出 $e^{-x}$ 的麦克劳林展开式。

B17 写出 $\ln (1-x)$ 的麦克劳林展开式及收敛域。

B18 将 $\frac{1}{1+x^2}$ 展开为麦克劳林级数。

B19 将 $\frac{1}{(1-x{)}^3}$ 展开为麦克劳林级数。

B20 将 $\ln (2+x)$ 展开为 $x$ 的幂级数。

C 组 — 综合应用 (10 题)

C1 ⭐⭐ 讨论 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$ 的敛散性。（提示：积分法）

C2 ⭐⭐ 判断 $\sum \ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\right)$ 的敛散性。（提示：泰勒展开到二阶）

C3 ⭐⭐ 判断 $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}$ 的敛散性。满足莱布尼茨条件吗？

C4 ⭐⭐ 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{2^n}$ 的和。（提示：从 $\sum x^n$ 出发两次求导）

C5 ⭐⭐ 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n(2n-1)}$ 的和。（提示：拆项+已知展开式）

C6 ⭐⭐ 将 $f(x)=\frac{1}{x^2+3x+2}$ 展开为 $x$ 的幂级数并求收敛域。（提示：有理分式先拆部分分式）

C7 ⭐⭐⭐ 用间接法将 $\arctan x$ 展开为麦克劳林级数并求收敛域。

C8 ⭐⭐⭐ 用幂级数求 ${\int }_0^1\frac{\sin x}{x}dx$ 的近似值（精确到 $10^{-4}$）。

C9 ⭐⭐⭐ 若 $\sum a_n{x}^n$ 收敛半径为 $R$，证明 $\sum a_n^2{x}^n$ 的收敛半径至少为 $R^2$。

C10 ⭐⭐⭐ 讨论 $f(x)=e^{-1/x^2}$（$x\ne 0$），$f(0)=0$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数及其与 $f(x)$ 的关系。

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⚠️ 常见错误 Top 10

#	错误	正确
1	$\lim u_n=0$ ⇒ 级数收敛	❌ 仅为必要非充分。调和级数是反例
2	比值法 $\rho =1$ 时判定发散	❌ $\rho =1$ 失效，须换比较法/积分法
3	比较法：大的发散 ⇒ 小的发散	❌ 方向反了！正确：大收敛→小收敛，小发散→大发散
4	发散+发散=发散	❌ 不一定。$1+(-1)=0$
5	交错级数只需 $\lim u_n=0$	❌ 还须单调递减
6	缺项幂级数套系数比值	❌ 分母系数可能为0，用直接法
7	求收敛域只求半径不验证端点	❌ 端点必须单独代入判断
8	逐项求导/积分后收敛域不变	❌ 端点可能变（求导变差，积分变好）
9	泰勒级数写出=原函数	❌ 须验证 $\lim R_n(x)=0$
10	任意项级数直接用正项比较法	❌ 须先取绝对值判断绝对收敛

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📋 B 组答案速查

#	答案
B1	收敛，和为 $1$
B2	$\lim u_n=\frac{1}{2}\ne 0$ → 发散
B3	$\frac{1}{2}$（拆 $=\frac{1}{2}[\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}]$）
B4	$\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$，$\sum 1/n^2$ 收敛 → 收敛
B5	$\rho =\lim \frac{2}{n+1}=0<1$ → 收敛
B6	$\rho =\lim \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}<1$ → 收敛
B7	单调递减且→0 → 收敛。绝对值 $\sum 1/\sqrt{n}$（$p=\frac{1}{2}$）发散 → 条件收敛
B8	$\Vert \cos n/n^2\Vert \le 1/n^2$，$\sum 1/n^2$ 收敛 → 绝对收敛
B9	$R=1$，$x=1$散，$x=-1$收 → $[-1,1)$
B10	$R=2$，$x=3$散，$x=-1$收 → $[-1,3)$
B11	$R=\frac{1}{2}$（缺项直接法）
B12	$R=2$（条件收敛点 $
B13	$\frac{x}{(1-x{)}^2}$，$
B14	$\frac{-\ln (1-x)-x}{x}$（$x\ne 0$），端点$[-1,1)$
B15	$\frac{1}{(1-x{)}^2}$，$
B16	$\sum \frac{(-1{)}^n{x}^n}{n!}$，$(-\infty ,\infty )$
B17	$-\sum \frac{x^n}{n}$，$[-1,1)$
B18	$\sum (-1{)}^n{x}^{2n}$，$
B19	$\sum \frac{(n+1)(n+2)}{2}{x}^n$，$
B20	$\ln 2+{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n\cdot 2^n}{x}^n$，$-2<x\le 2$

💡 C 组提示

#	提示
C1	${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x\ln x}=[\ln \ln x{]}_2^{\infty }$ 发散 → 原级数发散
C2	$\ln (1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}})=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$。交错部分收敛，调和部分发散 → 发散
C3	$u_n$ 非单调递减（有振荡），不满足莱布尼茨条件。通项不趋于0也需检查
C4	从 $\sum x^n=1/(1-x)$ 出发：乘$x$→求导→再乘$x$→再求导→代入 $x=1/2$ → $6$
C5	拆 $\frac{1}{n(2n-1)}=\frac{2}{2n-1}-\frac{1}{n}$，分别求和 → $2\ln 2-1$
C6	拆 $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$，分别展为 $\sum (-1{)}^n{x}^n$ 和 $\frac{1}{2}\sum (-1{)}^n(x/2{)}^n$ → $R=1$，域 $(-1,1)$
C7	${\arctan }^{\prime }x=\frac{1}{1+x^2}=\sum (-1{)}^n{x}^{2n}$ → 逐项积分 → $\sum (-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，$[-1,1]$
C8	$\sin x/x=\sum (-1{)}^n{x}^{2n}/(2n+1)!$ → 逐项积分，取前4项 → $\approx 0.9461$
C9	由 $\lim \sqrt[n]{\Vert a_n\Vert }=1/R$，则 $\lim \sqrt[n]{\Vert a_n^2\Vert }=1/R^2$，故 $R_{\text{新}}\ge R^2$
C10	$f^{(n)}(0)=0$ 对所有 $n$ 成立，泰勒级数为 $0$，但 $f(x)\ne 0$（$x\ne 0$）——泰勒级数写出来不等于原函数的经典反例