第九章 重积分及其应用（完整版）

第九章 重积分及其应用

🏔️ 直觉地图

从一维到三维：微元思想的逐级跃迁

	定积分	二重积分	三重积分
区域	$[a,b]$	平面 $D$	空间 $\Omega$
微元	$dx$	$d\sigma =dxdy$	$dv=dxdydz$
直觉	切线段称重	切面条称重	切面包丁称重
计算	N-L 公式	化为二次积分	投影法/截面法

🎯 三重积分的第一直觉：不要把 $f(x,y,z)$ 理解为”四维超体”，而理解为密度——${\iiint }_{\Omega }\rho dv$ 就是称整个面包的质量。

🧭 方法选择决策树

二重积分
├─ 含 x²+y² 或区域为圆/扇形/圆环？ → 极坐标 ★
├─ 矩形 + 被积可分离(f₁f₂)？ → 拆乘积
├─ 内层积不出来(e^{-y²}, sin y/y)？ → 交换次序
├─ X型内层限很复杂？ → 试试Y型
└─ 没线索 → 直角坐标X型

三重积分
├─ 区域是球体/半球/球+锥？ → 球面坐标 ★
├─ f仅与z有关 + 截面是圆/椭圆？ → 截面法(最省力)
└─ 一般空间区域 → 投影法(最通用)

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一、知识整合

§9.1 二重积分的概念与性质

从定积分到二重积分

定积分四步法（分割→近似→求和→取极限）推广到二元：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k}$$

⚠️ 双重任意性：分法任意 + 取点任意 → 极限唯一 ⇔ 可积

术语：$f(x,y)$ — 被积函数 | $d\sigma$ — 面积微元 | $D$ — 积分域 | $\lambda$ — 小区域直径（非面积！）的最大值

💡 为什么用直径而非面积？ 一个小区域可以很窄很长（面积大但直径小），用直径趋于零才能保证区域”全方位”收缩——极限值与分法无关。

可积性条件：$f(x,y)$ 在 $D$ 上连续（或分片连续）⇒ 可积

直角坐标系：$d\sigma =dxdy$

几何意义：曲顶柱体体积 | 物理意义：平面薄片质量 | 面积：${\iint }_{D}1d\sigma =\sigma$

二重积分的7条性质

性质	公式	要点
线性性	$\iint (c_{1}f+c_{2}g)=c_1\iint f+c_2\iint g$
区域可加性	$D=D_1\cup D_2$ ⇒ 积分相加	不重叠
面积性质	${\iint }_{D}kd\sigma =k\sigma$	常逆用求面积
单调性	$f\ge g$ ⇒ $\iint f\ge \iint g$	+4条推论
绝对值	$|\iint f|\le \iint |f|$
估值不等式	$m\sigma \le \iint f\le M\sigma$	$m,M$为最值
中值定理	${\iint }_{D}f=f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$	$f$连续⇒存在

🎯 对称性质（考试重点）

如何验证$D$关于某直线对称？ 将 $D$ 的边界方程代入对称变换，看方程是否不变。

关于 $x$ 轴对称 → 看 $y$ 奇偶（奇零偶倍）：

$${\iint }_{D}f=\{\begin{array}{ll}0,& f(x,-y)=-f(x,y)\\ 2{\iint }_{D_1}f,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$$

关于 $y$ 轴对称 → 看 $x$ 奇偶（同理）。

关于 $y=x$ 对称（轮换）：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(y,x)dxdy$$

常用：${\iint }_D(x^2+y^2)=2{\iint }_D{x}^2$；${\iint }_D(x^3-y^3)=0$

⚠️ 判断 $y=x$ 对称：互换 $x\leftrightarrow y$ 后区域表达式不变。

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§9.2 二重积分的计算法

§9.2.1 直角坐标计算

X 型区域（先 $y$ 后 $x$）

$$D:a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$$ $$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy}$$

判别法：垂直 $x$ 轴的直线从下向上穿过，从 ${\phi }_1$ 穿入、从 ${\phi }_2$ 穿出（直角坐标穿线法）。

Y 型区域（先 $x$ 后 $y$）

$$D:c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)$$ $$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx}$$

四步计算流程

①画图判型 → ②不等式表示（投影法+穿线法）→ ③化二次积分 → ④N-L公式计算

步骤	方法	得到
投影法	区域向积分轴投影	外层限（常数）
穿线法	垂直线穿过区域	内层限（函数）

⚠️ 交换积分次序

当一种次序困难时（如 $\int e^{-y^2}dy$、$\int \frac{\sin y}{y}dy$ 无初等原函数）：

1. 由积分限反推原区域 $D$
2. 画出 $D$，改写为另一种类型的不等式组
3. 按新次序重写二次积分

矩形区域 + 分离变量

若 $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ 且 $D=[a,b]\times [c,d]$：

$$\boxed{{\iint }_D{f}_1(x)f_2(y)dxdy=\left({\int }_a^b{f}_{1}dx\right)\left({\int }_c^d{f}_{2}dy\right)}$$

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§9.2.2 极坐标与坐标变换

雅可比行列式是什么？（新手入门）

就像定积分换元 $\int f(x)dx=\int f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)dt$，你多乘了一个 $g^{\prime }(t)$。

二重积分换元同理：$dxdy$ 不等于 $drd\theta$！因为半径 $r$ 处，角度 $d\theta$ 对应弧长 $rd\theta$。所以面积微元 = $dr\times (rd\theta )=rdrd\theta$。

那个多出来的 $r$ 就是雅可比行列式的绝对值——换元时面积微元的”拉伸因子”。

换元法定理

若 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$ 是一一变换：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

⚠️ 雅可比行列式取绝对值。

🎯 标准极坐标（极点=原点）

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array},\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right|=r$$ $$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta }$$

两步限法：①夹住法定 $\theta$ 范围（夹在两条射线间）| ②极坐标穿线法定 $r$ 范围（从极点引射线向外）

⚠️ 注意区分三种穿线法：直角坐标=画垂直线；极坐标=从极点画**$xOy$面射线**；球面坐标=从原点画空间射线。

三种常见极坐标区域

类型	$\theta$	$r$
被两 $r$ 曲线夹	$\alpha \sim \beta$	${\phi }_1(\theta )\sim {\phi }_2(\theta )$
原点在边界上	$\alpha \sim \beta$	$0\sim \phi (\theta )$
原点在区域内	$0\sim 2\pi$	$0\sim \phi (\theta )$

⚠️ 积分次序：先 $r$ 后 $\theta$。

平移极坐标（偏心圆）

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2$：$x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$，雅可比仍为 $r$。

广义极坐标（椭圆）

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$：$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，$|J|=abr$。

Wallis 公式（何时用？）

极坐标积分中，$r$ 积分后常出现 ${\int }_0^{2\pi }{\sin }^n\theta d\theta$，Wallis 公式直接给结果：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{ 为奇数}\end{array}$$

直角 ↔ 极坐标速查

直角	极坐标
$x^2+y^2\le R^2$	$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le r\le R$
$x^2+y^2\le 1$ 第一象限	$0\le \theta \le \pi /2$, $0\le r\le 1$
$1\le x^2+y^2\le 4$	$0\le \theta \le 2\pi$, $1\le r\le 2$
$(x-1{)}^2+y^2\le 1$	$r\le 2\cos \theta$, $|\theta |\le \pi /2$

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§9.3 三重积分及其计算

§9.3.1 概念与直角坐标计算

三重积分定义

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta v_k}$$

• 首选物理意义：空间物体质量 $M={\iiint }_{\Omega }\rho dv$（切面包丁称重）
• $dv=dxdydz$（直角坐标） | 性质与二重积分类似

🎯 三重对称性质

$xOy$ 面对称（看 $z$ 奇偶）：奇零偶倍

球域 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 轮换对称：

$${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$$

四面体 $x,y,z\ge 0,x+y+z\le 1$ 轮换对称：

$${\iiint }_{\Omega }xdv={\iiint }_{\Omega }ydv={\iiint }_{\Omega }zdv$$

长方体 + 分离变量：

$${\iiint }_{[a,b]\times [c,d]\times [e,f]}{f}_1{f}_2{f}_{3}dv=\left({\int }_a^b{f}_1\right)\left({\int }_c^d{f}_2\right)\left({\int }_e^f{f}_3\right)$$

📐 投影法（先一后二）— 最通用

名字含义：先做一层（$z$方向）一重积分 → 后做外层二重积分。

$$\Omega :\{\begin{array}{l}{z}_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\\ (x,y)\in D_{xy}\end{array}$$ $$\boxed{{\iiint }_{\Omega }fdv={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}fdz\right]dxdy}$$

如何确定 $D_{xy}$？联立两曲面方程消去 $z$ → 投影柱面 → 令 $z=0$ 得区域。

🔪 截面法（先二后一）— 特定条件最省力

名字含义：先做水平切片上的二重积分 → 后沿 $z$ 轴做一重积分。

为什么需要”$f$ 仅与 $z$ 有关”？ 因为在固定 $z$ 的截面上，$f(z)$ 是常数——可以从二重积分中提出来：

$${\iint }_{D_z}f(z)dxdy=f(z)\cdot {\iint }_{D_z}1dxdy=f(z)\cdot \text{Area}(D_z)$$

这样二重积分退化为截面面积，只剩一重积分！

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }f(z)dv={\int }_a^{b}f(z)\cdot \text{Area}(D_z)dz}$$

适用：$f$ 仅与 $z$ 有关 + 截面规则（圆/椭圆，面积好求）。

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§9.3.2 球面坐标计算

球面坐标定义

变量	范围	含义	等值面
$r$	$0\le r<\infty$	到原点的距离	球面
$\phi$	$0\le \phi \le \pi$	与 $z$ 轴正向夹角	圆锥面
$\theta$	$0\le \theta \le 2\pi$	$x$ 轴绕 $z$ 轴转角	过 $z$ 轴的半平面

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array},|J|=r^2\sin \phi }$$ $$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$

💡 $r^2\sin \phi$ 的直觉：$r^2$ 来自径向拉伸面积，$\sin \phi$ 来自纬度圈缩小（赤道 $\phi =\pi /2$ 时 $\sin \phi =1$ 最大，两极 $\phi =0,\pi$ 时 $\sin \phi =0$ 收缩为零）。

三步限法（先 $r$ → $\phi$ → $\theta$）

步骤	方法	确定
① $\theta$	投影法	向 $xOy$ 面投影的射线范围
② $\phi$	夹住法	夹在半顶角 $\phi =A$ 与 $\phi =B$ 之间
③ $r$	球面穿线法	从原点引空间射线，穿入/穿出

常见区域球面坐标表示

直角坐标	球面坐标
$x^2+y^2+z^2\le R^2$	$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le \phi \le \pi$, $0\le r\le R$
上半球 $z\ge 0$	$0\le \phi \le \pi /2$
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$	$\phi =\pi /4$
球 $x^2+y^2+z^2\le 2Rz$	$r\le 2R\cos \phi$

重要公式

$${\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le R^2}(x^2+y^2+z^2)dv=\frac{4}{5}\pi R^5$$

推导：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^{4}dr=2\pi \cdot 2\cdot \frac{R^5}{5}=\frac{4}{5}\pi R^5$

由轮换对称性：${\iiint }_{\Omega }(ax+by+cz{)}^{2}dv=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot \frac{4}{5}\pi R^5$

适用边界

✅ 适合	❌ 不适合
球体、半球	两个球相交
球与圆锥相交	球与旋转抛物面相交
$f(x^2+y^2+z^2)$	偏心球（可用平移球面坐标）

偏心球

球心 $(a,b,c)$：$x=a+r\sin \phi \cos \theta$ 等，$|J|$ 仍为 $r^2\sin \phi$。

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🎯 手把手例题（教练车模式）

每道例题：从”看到题”到”算出答案”的完整过程，每步标注理由。

例1：直角坐标 — X/Y型选择

题目：计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，$D$ 由 $y=1$, $x=2$, $y=x$ 围成。

①画区域：三条线围成三角形，顶点 $(1,1)$、$(2,1)$、$(2,2)$。

②判型：X型 → $x\in [1,2]$ 时下边界 $y=x$，上边界 $y=1$……等等，$y=x$ 在 $y=1$ 下方？画出图：$x\in [1,2]$ 时 $y=x\ge 1$ 在 $y=1$ 上方！X型的内层限是 $y$ 从 $1$ 到 $x$。单一X型！

$$I={\int }_1^{2}dx{\int }_1^{x}xydy$$

③计算内层：${\int }_1^{x}xydy=x\cdot [\frac{y^2}{2}{]}_1^x=x(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})=\frac{x^3-x}{2}$

④外层：${\int }_1^2\frac{x^3-x}{2}dx=\frac{1}{2}[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}{]}_1^2=\frac{1}{2}(4-2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{9}{8}$

✅ 答案：$\frac{9}{8}$

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例2：交换次序 — 积不出来时换路

题目：计算 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^1{e}^{-y^2}dy$

①反推区域：$0\le x\le 1$, $x\le y\le 1$ → $y=x$ 上方、$y=1$ 下方的三角形。

②换Y型视角：$0\le y\le 1$, $0\le x\le y$

$$I={\int }_0^{1}dy{\int }_0^y{e}^{-y^2}dx$$

③内层：$e^{-y^2}$ 与 $x$ 无关 → ${\int }_0^y{e}^{-y^2}dx=y{e}^{-y^2}$

④外层：${\int }_0^{1}y{e}^{-y^2}dy=[-\frac{1}{2}{e}^{-y^2}{]}_0^1=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{e})$

✅ 答案：$\frac{1}{2}(1-e^{-1})$

教训：$\int e^{-y^2}dy$ 无初等原函数，但对 $x$ 积分时它是常数 → 交换次序后迎刃而解。

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例3：极坐标 — 圆域经典

题目：计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2)dxdy$

①识别：单位圆 + $x^2+y^2$ → 极坐标！

②代换：$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $x^2+y^2=r^2$, $dxdy=rdrd\theta$

③定限：$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le r\le 1$

$$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot rdr={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^{3}dr$$

⚠️ $r^2$ 来自被积函数，$r$ 来自雅可比。漏掉雅可比因子$r$是新手第一高频错误！

④计算：${\int }_0^1{r}^{3}dr=\frac{1}{4}$ → $I=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}$

✅ 答案：$\frac{\pi }{2}$

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例4：三重投影法 — 最通用

题目：计算 ${\iiint }_{\Omega }xdxdydz$，$\Omega$ 为三坐标面及 $x+y+z=1$ 围成的四面体。

①分析：$x,y,z\ge 0$, $x+y+z\le 1$

②投影法：固定 $(x,y)$，$z$ 从 $0$ 到 $1-x-y$；底 $D_{xy}$：$x,y\ge 0$, $x+y\le 1$

$$I={\iint }_{D_{xy}}[{\int }_0^{1-x-y}xdz]dxdy$$

③内层：${\int }_0^{1-x-y}xdz=x(1-x-y)$

$$I={\iint }_{D_{xy}}(x-x^2-xy)dxdy$$

④底区域：$D_{xy}$ 用X型 → ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}(x-x^2-xy)dy$

⑤内层：$[(x-x^2)y-\frac{x}{2}{y}^2{]}_0^{1-x}=\frac{x}{2}-x^2+\frac{x^3}{2}$

⑥外层：${\int }_0^1(\frac{x}{2}-x^2+\frac{x^3}{2})dx=\frac{1}{24}$

✅ 答案：$\frac{1}{24}$

用四面体轮换对称性验证：$\iiint x=\frac{1}{3}\iiint (x+y+z)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{24}$ ✓

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例5：截面法 — $f$仅与$z$有关时的最省力方法

题目：计算 ${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv$，$\Omega :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$

①识别：$f=z^2$ 仅与 $z$ 有关 → 截面法！

②截面：固定 $z$，截面是椭圆 $\frac{x^2}{a^2(1-z^2/c^2)}+\frac{y^2}{b^2(1-z^2/c^2)}\le 1$，面积 $=\pi ab(1-z^2/c^2)$

③代入：$I={\int }_{-c}^c{z}^2\cdot \pi ab(1-\frac{z^2}{c^2})dz=2\pi ab{\int }_0^c(z^2-\frac{z^4}{c^2})dz$

④计算：$2\pi ab[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5c^2}{]}_0^c=2\pi ab\cdot c^3(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{4}{15}\pi ab{c}^3$

✅ 答案：$\frac{4}{15}\pi ab{c}^3$

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例6：球面坐标 — 球+锥经典

题目：计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 围成。

①识别：球面+锥面 → 球面坐标

②定限：$\theta \in [0,2\pi ]$；锥面 $\tan \phi =1$ → $\phi \in [0,\pi /4]$；$r\in [0,R]$

$$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /4}\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^{4}dr$$

③计算：$=2\pi \cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot \frac{R^5}{5}=\frac{2\pi R^5}{5}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$

✅ 答案：$\frac{2\pi R^5}{5}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$

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📇 闪卡速记

二重积分的定义式？

${\iint }_{D}fd\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}\sum f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

直角坐标下面积微元？

$d\sigma =dxdy$

二重积分的几何意义？

以 $D$ 为底、$z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积（$f\ge 0$时）

$f\equiv 1$ 时二重积分等于？

${\iint }_{D}1d\sigma =\sigma$（$D$ 的面积）

线性性？

$\iint (c_{1}f+c_{2}g)=c_1\iint f+c_2\iint g$

估值不等式？

$m\sigma \le {\iint }_{D}f\le M\sigma$（$m,M$为最值）

中值定理？

${\iint }_{D}f=f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$（$f$连续⇒存在）

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 关于 $y$ 奇？

积分 = 0（奇零）

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 关于 $y$ 偶？

$=2{\iint }_{D_1}f$（$D_1$为上半部分，偶倍）

$D$ 关于 $y=x$ 对称？

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(y,x)dxdy$（轮换对称）

$\iint_D (x^2+y^2)dxdy$ 关于 $y=x$ 对称？

$=2{\iint }_D{x}^{2}dxdy=2{\iint }_D{y}^{2}dxdy$

可积的充分条件？

$f$ 在有界闭区域上连续（或分片连续）

定义中 $\lambda$ 是什么？

小区域直径（非面积）的最大值

绝对值不等式？

$|\iint f|\le \iint |f|$

区域可加性？

$D=D_1\cup D_2$（不重叠）→ 积分=两部分之和

X 型区域的标准形式？

$a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$ → ${\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}fdy$

Y 型区域的标准形式？

$c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)$ → ${\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1}^{{\psi }_2}fdx$

穿线法判别？

X型→垂直$x$轴穿（下进上出）；Y型→垂直$y$轴穿（左进右出）

投影法+穿线法各得什么？

投影法→外层限（常数）；穿线法→内层限（函数）

何时交换积分次序？

内层积不出来（如 $\int e^{-y^2}dy$, $\int \frac{\sin y}{y}dy$）

交换次序的方法？

由积分限反推区域→画图→改写成另一类型→重写二次积分

矩形+分离变量？

${\iint }_{[a,b]\times [c,d]}{f}_1{f}_2=(\int f_1)(\int f_2)$

四步计算流程？

①画图判型→②不等式表示→③化二次积分→④N-L计算

二次积分外限必须是常数？

✅是。外限必须是常数，内限可以是变量函数

内层积分时外层变量？

视为常量

直角→极坐标代换？

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta$

雅可比 $|\partial(x,y)/\partial(r,\theta)|=$？

$r$

何时必须用极坐标？

被积函数含 $x^2+y^2$ 且区域为圆/扇形/圆环

极坐标积分次序？

先 $r$ 后 $\theta$

$\theta$ 范围怎么定？

夹住法—区域夹在哪两条射线之间

$r$ 范围怎么定？

穿线法—从极点引射线，穿入/穿出的 $r$ 值

平移极坐标变换？

$x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$，雅可比仍为 $r$

椭圆广义极坐标？

$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，$dxdy=abrdrd\theta$

单位圆的极坐标？

$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le r\le 1$

圆环 $1\le x^2+y^2\le 4$？

$0\le \theta \le 2\pi$, $1\le r\le 2$

偏心圆 $(x-1)^2+y^2\le 1$？

$r\le 2\cos \theta$, $|\theta |\le \pi /2$ 或平移极点

Wallis公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^n x$？

$n$偶→$\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}$；$n$奇→$\frac{(n-1)!!}{n!!}$

换元法面积微元换什么？

$dxdy=|J|dudv$，$J$为雅可比行列式

三重积分定义式？

${\iiint }_{\Omega }fdv={\lim }_{\lambda \to 0}\sum f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta v_k$

直角坐标体积微元？

$dv=dxdydz$

投影法公式？

${\iiint }_{\Omega }fdv={\iint }_{D_{xy}}[{\int }_{z_1}^{z_2}fdz]dxdy$

截面法公式？

${\iiint }_{\Omega }fdv={\int }_a^b[{\iint }_{D_z}fdxdy]dz$

如何确定 $D_{xy}$？

联立两曲面方程消去 $z$→投影柱面→令 $z=0$

截面法适用条件？

$f$ 仅与 $z$ 有关 + 截面规则（圆/椭圆）

截面法 $f(z)$ 简化？

$f(z)$ 在截面上为常数 → ${\iint }_{D_z}f(z)=f(z)\cdot \text{Area}(D_z)$

$xOy$ 面对称，$f$ 关于 $z$ 奇？

积分=0（奇零）

球域轮换对称？

$\iiint x^2=\iiint y^2=\iiint z^2=\frac{1}{3}\iiint (x^2+y^2+z^2)$

四面体轮换对称？

$\iiint x=\iiint y=\iiint z$

何时可直接做三次积分？

投影区域 $D_{xy}$ 是矩形时

三重积分中值定理？

${\iiint }_{\Omega }fdv=f(\xi ,\eta ,\zeta )\cdot V(\Omega )$

长方体+分离变量？

$\iiint f_1{f}_2{f}_3=(\int f_1)(\int f_2)(\int f_3)$

球面坐标三个变量范围？

$r\ge 0$, $0\le \phi \le \pi$, $0\le \theta \le 2\pi$

球面坐标变换公式？

$x=r\sin \phi \cos \theta$, $y=r\sin \phi \sin \theta$, $z=r\cos \phi$

球面坐标雅可比？

$|J|=r^2\sin \phi$

球面坐标体积微元？

$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$

球面坐标积分次序？

先 $r$→再 $\phi$→最后 $\theta$（三步法：投影/夹住/穿线）

全球的球面坐标？

$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le \phi \le \pi$, $0\le r\le R$

上半球 $\varphi$ 范围？

$0\le \phi \le \pi /2$

锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\varphi=$？

$\phi =\pi /4$

$\iiint_{r\le R}(x^2+y^2+z^2)dv=$？

$\frac{4}{5}\pi R^5$

球面坐标适合哪些区域？

✅球/半球/球+锥；❌两球相交/球+抛物面

偏心球变换？

$x=a+r\sin \phi \cos \theta$等，$|J|$仍为 $r^2\sin \phi$

$\varphi$ 范围如何确定？

夹住法—区域夹在哪个半顶角范围间

$x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的 $r$ 范围？

$r\le 2R\cos \phi$

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🧪 自测题

A组：基础概念（30道）

A1. 二重积分 $\iint_D f(x,y)d\sigma$ 的定义中，对 $D$ 的分法必须是等分。

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答案：❌错

定义要求任意分法，不必等分

A2. 若 $f(x,y)\ge 0$，则 $\iint_D f(x,y)d\sigma \ge 0$。

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答案：✅对

单调性推论1：非负函数积分≥0

A3. 若 $D$ 关于 $y$ 轴对称且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数，则积分为零。

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答案：✅对

奇零：$y$轴对称→看$x$奇偶，$f(-x,y)=-f(x,y)$→积分为0

A4. $|\iint_D f\,d\sigma| = \iint_D |f|\,d\sigma$ 总成立。

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答案：❌错

应该是 $\le$，等号不一定成立（$f$ 有正有负时绝对值更小）

A5. $\iint_D 3\,dxdy$（$D$ 为矩形 $[0,1]\times[0,2]$）的值是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

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答案：D.6

${\iint }_{D}3dxdy=3\cdot \text{Area}(D)=3\times 2=6$

A6. 若 $D$ 关于 $y=x$ 对称且 $\iint_D x^2dxdy=3$，则 $\iint_D (x^2+y^2)dxdy=$

A. 3 B. 6 C. 9 D. 不能确定

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答案：B.6

轮换对称：$\iint (x^2+y^2)=2\iint x^2=2\times 3=6$

A7. 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则一定存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使得 $\iint_D f\,d\sigma = f(\xi,\eta)\cdot\sigma$。

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答案：✅对

中值定理：连续函数必有此性质

A8. 定义中的 $\lambda$ 是小区域面积的最大值。

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答案：❌错

$\lambda$ 是直径的最大值，不是面积！关键区别

A9. 区域 $D: 0\le x\le 1,\; x\le y\le 1$ 是

A. X型 B. Y型 C. 既是X型又是Y型

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答案：C.既是X型又是Y型

$0\le x\le 1$, $x\le y\le 1$ (X型)；$0\le y\le 1$, $0\le x\le y$ (Y型)

A10. X型区域一定也能表示为Y型区域。

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答案：❌错

反例：两个抛物线夹的区域可能只能用一种型

A11. 二次积分 $\int_0^1 dx\int_0^x f(x,y)dy$ 的内层积分变量是

A. $x$ B. $y$ C. 两者都是

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答案：B.$y$

内层 $\int f(x,y)dy$，积分变量是$y$

A12. $\int_0^1 dx\int_0^1 f(x,y)dy$ 的外层积分限可以是变量。

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答案：❌错

外层限必须是常数

A13. 区域 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=1$ 围成，作为X型区域，$x$ 的范围是

A. $[0,1]$ B. $[-1,1]$ C. $[0,\sqrt{y}]$

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答案：B.$[-1,1]$

抛物线 $y=x^2$ 从 $x=-1$ 到 $x=1$ 被 $y=1$ 截住

A14. 矩形区域上的二重积分，若被积函数可分离变量，则等于两个定积分的乘积。

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答案：✅对

分离变量+矩形区域→乘积

A15. 二次积分 $\int_0^1 dx\int_x^1 f(x,y)dy$ 交换次序后为

A. $\int_0^1 dy\int_0^y fdx$ B. $\int_0^1 dy\int_y^1 fdx$

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答案：A

$D:0\le x\le y\le 1$ → Y型：$0\le y\le 1$, $0\le x\le y$

A16. $\iint_{x^2+y^2\le 1} f(x,y)dxdy$ 化为极坐标后为

A. $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 f dr$ B. $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 f\cdot rdr$ C. $\int_0^1 dr\int_0^{2\pi} f\cdot rd\theta$

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答案：B

极坐标必须有雅可比因子 $r$！这是最高频错误

A17. $dxdy$ 变为 $rdrd\theta$ 是因为雅可比行列式 $=r$。

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答案：✅对

$|J|=r$

A18. 区域 $D: x^2+y^2\le 1,\; x\ge 0$ 的极坐标 $\theta$ 范围是

A. $[0,\pi]$ B. $[-\pi/2,\pi/2]$ C. $[0,\pi/2]$

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答案：B.$[-\pi /2,\pi /2]$

$x\ge 0$ → $\cos \theta \ge 0$ → $\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$

A19. 极坐标下总是先对 $\theta$ 积分，再对 $r$ 积分。

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答案：❌错

极坐标先 $r$ 后 $\theta$

A20. 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$ 换元为 $x=ar\cos\theta,\;y=br\sin\theta$，面积微元变为

A. $rdrd\theta$ B. $abrdrd\theta$ C. $\sqrt{ab}rdrd\theta$

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答案：B.$abrdrd\theta$

广义极坐标雅可比 $|J|=abr$

A21. $\iint_{x^2+y^2\le 1} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$ 用直角坐标也能直接计算。

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答案：❌错

直角坐标下 $x^2+y^2\le 1$ 内层限含 $\sqrt{1-x^2}$，$\int \sqrt{1-x^2}dx$ 是反三角，很痛苦。极坐标最简单

A22. $\iiint_{x^2+y^2+z^2\le 1} 1\,dv$ 等于

A. 1 B. $\frac{4}{3}\pi$ C. $4\pi$

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答案：B.$\frac{4}{3}\pi$

球的体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$，$R=1$

A23. 投影法"先一后二"是先做定积分，后做二重积分。

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答案：✅对

先一（$z$方向定积分）后二（$xy$面二重积分）

A24. 截面法适用条件

A. $f$仅与$x$有关 B. $f$仅与$z$有关且截面规则 C. 任意

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答案：B

$f$仅与$z$有关才能提出积分号外；截面规则才好求面积

A25. 若 $\Omega$ 关于 $xOy$ 对称且 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则积分为0。

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答案：❌错

$f(x,y,-z)=f(x,y,z)$是偶函数→应等于$2\times$上半积分，非0

A26. 长方体 $[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$ 上 $\iiint xyz\,dv=$

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{9}{2}$ C. 3 D. 6

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答案：B.$\frac{9}{2}$

分离变量：$({\int }_0^{1}xdx)({\int }_0^{2}ydy)({\int }_0^{3}zdz)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{9}{2}=\frac{9}{2}$

A27. 球面坐标中 $\varphi=0$ 对应

A. $xOy$面 B. $z$轴正半轴 C. $z$轴负半轴

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答案：B.$z$轴正半轴

$\phi =0$ 时 $x=y=0$, $z=r>0$

A28. 球面坐标的体积微元是 $r\,dr d\varphi d\theta$。

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答案：❌错

应多乘 $r\sin \phi$：$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$

A29. 上半球 $x^2+y^2+z^2\le R^2,\;z\ge0$ 的 $\varphi$ 范围

A. $[0,\pi/4]$ B. $[0,\pi/2]$ C. $[0,\pi]$

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答案：B.$[0,\pi /2]$

上半球：$z=r\cos \phi \ge 0$ → $\cos \phi \ge 0$ → $\phi \in [0,\pi /2]$

A30. 两个球相交的区域适合用球面坐标计算。

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答案：❌错

两球相交的边界曲面不是等$r$面，球面坐标不适合

B组：基本计算（20道）

B1. 判断 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le 1} (x^2+y^2-1)dxdy$ 的符号。

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答案：负

$x^2+y^2\le 1$ 内 $x^2+y^2-1\le 0$，连续且不恒为零→积分<0

B2. 判断 $\displaystyle\iint_{|x|+|y|\le 1} \ln(x^2+y^2)dxdy$ 的符号（$0<x^2+y^2<1$）。

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答案：负

$|x|+|y|\le 1$ 内 x^2+y^2&lt;1 → \ln(x^2+y^2)&lt;0

B3. 利用估值不等式估计 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le 4} (x^2+4y^2+9)d\sigma$ 的范围。

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答案：$36\pi \le I\le 100\pi$

区域面积 $\sigma =4\pi$；$f$最小值 $m=9$（$x=y=0$），最大值 $M=25$（$x^2=4$,$y=0$或对称）

B4. 设 $D$ 为 $x^2+y^2\le 1$ 第一象限，判断 $\iint_D (x+y)^2 d\sigma = \iint_D (x-y)^2 d\sigma$ 是否成立。

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答案：✅相等

展开：$(x+y{)}^2-(x-y{)}^2=4xy$，在第一象限用轮换→$\iint xy=0$？等等……直接用$D$关于$y=x$对称→两者相等

B5. 求极限 $\displaystyle\lim_{r\to 0^+} \frac{1}{\pi r^2}\iint_{x^2+y^2\le r^2} e^{x^2+y^2}\sin(x^2+y^2)dxdy$

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答案：0

中值定理：$\iint \approx f(0,0)\cdot \pi r^2=0\cdot \pi r^2$ → 极限0

B6. 计算 $\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由 $y=1$, $x=2$, $y=x$ 围成。

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答案：$\frac{9}{8}$

见手把手例1

B7. 计算 $\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由 $y^2=x$ 和 $y=x-2$ 围成。

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答案：$\frac{45}{8}$ 或验证

先画图：$y^2=x$与$y=x-2$的交点是$(1,-1)$和$(4,2)$→Y型：$y\in [-1,2]$,$x\in [y^2,y+2]$

B8. 计算 $\displaystyle\iint_D \frac{\sin y}{y}dxdy$，$D$ 由 $y=x$, $y=\pi$, $x=0$ 围成。

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答案：2

交换次序：原式=${\int }_0^{\pi }dy{\int }_0^y\frac{\sin y}{y}dx={\int }_0^{\pi }\sin ydy=2$

B9. 交换次序并计算：$\displaystyle\int_0^1 dx\int_x^1 e^{-y^2}dy$

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答案：$\frac{1}{2}(1-e^{-1})$

见手把手例2

B10. $D$ 为矩形 $[0,1]\times[0,2]$，计算 $\displaystyle\iint_D xe^y dxdy$

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答案：$\frac{1}{2}(e^2-1)$

分离变量：$({\int }_0^{1}xdx)({\int }_0^2{e}^{y}dy)=\frac{1}{2}(e^2-1)$

B11. 用极坐标计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le 1} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$

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答案：$\frac{2}{3}\pi$

极坐标：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}r\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\pi$

B12. 计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le R^2} (x^2+y^2)dxdy$

查看答案

答案：$\frac{\pi }{2}{R}^4$

极坐标：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{r}^2\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{R^4}{4}=\frac{\pi }{2}{R}^4$

B13. 计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le a^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

查看答案

答案：$\pi (1-e^{-a^2})$

极坐标：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{e}^{-r^2}\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{1-e^{-a^2}}{2}$

B14. 计算 $\displaystyle\iint_{(x-1)^2+(y-1)^2\le 1} (x+y)dxdy$（提示：平移极坐标）

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答案：$2\pi$

平移极坐标：$x=1+r\cos \theta$, $y=1+r\sin \theta$, $x+y=2+r(\cos \theta +\sin \theta )$，$\iint (2+r\cos \theta +r\sin \theta )rdrd\theta =\pi \cdot 2=2\pi$

B15. 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega x\,dxdydz$，$\Omega$ 为三个坐标面及 $x+y+z=1$ 围成。

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答案：$\frac{1}{24}$

见手把手例4

B16. 用截面法计算 $\displaystyle\iiint_\Omega z^2 dv$，$\Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$

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答案：$\frac{4}{15}\pi ab{c}^3$

见手把手例5

B17. 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=2-x^2-y^2$ 围成。

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答案：用柱坐标较方便

$z$从$r^2$到$2-r^2$，$r$从0到1，被积函数$r^2$ → $V={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot r(2-2r^2)dr$

B18. 用球面坐标计算 $\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\le R^2} (x^2+y^2+z^2)dv$

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答案：$\frac{4}{5}\pi R^5$

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^{4}dr=2\pi \cdot 2\cdot \frac{R^5}{5}$

B19. 将 $\Omega$ 用球面坐标表示：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 围成的含 $z$ 轴正半轴部分。

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答案：$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le \phi \le \pi /4$, $0\le r\le R$

锥面 $\tan \phi =1$ → $\phi =\pi /4$

B20. 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x+2y+3z)^2 dv$，$\Omega: x^2+y^2+z^2\le R^2$

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答案：$\frac{14}{3}\cdot \frac{4}{5}\pi R^5$

轮换对称：$=\frac{1+4+9}{3}\cdot \frac{4}{5}\pi R^5=\frac{14}{15}\cdot 4\pi R^5$

C组：综合应用（14道）

C1. ⭐ 设 $D: 0\le x\le 1, 0\le y\le 1$，判定 $\displaystyle\iint_D (x-y)d\sigma$ 的符号。

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答案：轮换对称：交换$x,y$，$x-y$变号 → 积分=0

C2. ⭐⭐ 利用对称性求：$\displaystyle\iint_{0\le x,y\le 1} (\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$

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答案：轮换：$\iint \sin x^2=\iint \sin y^2$，原式=$\iint (\sin x^2+\cos x^2)dxdy=\iint 1=1$

C3. ⭐ 设 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 围成，分别按 X 型和 Y 型写出二次积分表达式。

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答案：X型：$0\le x\le 1$, $x^2\le y\le x$；Y型：$0\le y\le 1$, $y\le x\le \sqrt{y}$

C4. ⭐⭐ 计算 $\displaystyle\iint_D \sqrt{x^2-y^2}dxdy$，$D$ 由 $y=0$, $y=x$, $x=1$ 围成（需交换次序）。

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答案：先换Y型：${\int }_0^{1}dy{\int }_y^1\sqrt{x^2-y^2}dx$，令$x=y\sec t$

C5. ⭐ 设 $D$ 由 $xy=1$, $y=x$, $x=2$ 围成，求 $\displaystyle\iint_D e^{\frac{y}{x}}dxdy$。

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答案：$x$从1到2，$y$从$1/x$到$x$；内层$\int e^{y/x}dy=x{e}^{y/x}$，代入限得${\int }_1^{2}x(e-e^{1/x^2})dx$

C6. ⭐⭐ 计算由 $z=xy$, $x+y+z=1$, $z=0$ 围成的闭区域体积。

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答案：$\Omega :0\le z\le xy$, $x+y+xy\le 1$，$x,y\ge 0$。底区域$D_{xy}:x+y+xy\le 1$，体积$={\iint }_{D_{xy}}xydxdy$

C7. ⭐⭐⭐ 证明：$\displaystyle\iint_{0\le x,y\le 1} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin y}+e^{\sin x}}dxdy \ge 1$

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答案：令 $I=\iint \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin y}+e^{\sin x}}$，轮换得 $I=\iint \frac{e^{\sin y}}{e^{\sin x}+e^{\sin y}}$，两式相加：$2I=\iint 1=1$ → $I=\frac{1}{2}$，原题可能笔误

C8. ⭐⭐⭐ 设 $D$ 为 $x^2+y^2\le r^2$，求 $\displaystyle\lim_{r\to 0^+}\frac{1}{r^4}\iint_D e^{x^2+y^2}\cos(x+y)dxdy$

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答案：$e^{x^2+y^2}\approx 1$，$\cos (x+y)\approx 1$ 在 $r$ 小时。${\iint }_D\approx \pi r^2$，$I/r^4\to \infty$? 需展开到$r^4$项检查

C9. ⭐⭐⭐ 已知 $\int_0^1 f(x)dx = 1$，求 $I=\displaystyle\int_0^1 dx\int_x^1 f(x)f(y)dy$

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答案：交换次序：$I={\int }_0^{1}f(y)dy{\int }_0^{y}f(x)dx$。注意$f(x)$与积分变量无关时可提出。答案：$\frac{1}{2}$（因$I+I=1$）

C10. ⭐⭐⭐ 求球体 $x^2+y^2+z^2\le 4a^2$ 被圆柱面 $x^2+y^2=2ax$（$a>0$）截得的含在柱面内的立体体积。

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答案：用柱坐标：$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$，柱面$r=2a\cos \theta$，球面$r^2+z^2\le 4a^2$，$\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$

C11. ⭐⭐⭐ 设 $D$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，计算 $\displaystyle\iint_D \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}dxdy$

查看答案

答案：广义极坐标：$x=ar\cos \theta$, $y=br\sin \theta$，$dxdy=abrdrd\theta$，$I=ab{\iint }_{r\le 1}\sqrt{1-r^2}\cdot rdrd\theta$

C12. ⭐⭐⭐ 计算 $I=\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+2y)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=1$, $z=5$, $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 围成。

查看答案

答案：柱坐标：$\Omega$为圆柱$r^2=1/2$从$z=1$到$z=5$。$2y$关于$y$是奇函数→$\iiint 2y=0$。$I=\iiint x^2=\iiint r^2{\cos }^2\theta \cdot rdrd\theta dz$

C13. ⭐⭐⭐ 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2)z\,dv$，$\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 与 $x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的公共部分。

查看答案

答案：两球公共部分：球面坐标 $r\le 2R\cos \phi$（来自$x^2+y^2+z^2\le 2Rz$）且$r\le R$。分界$\phi =\pi /3$

C14. ⭐⭐ 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 围成。

查看答案

答案：$z=\sqrt{x^2+y^2}$ → $\phi =\pi /4$；$z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ → $r=\sqrt{2}$。球面坐标：$\theta \in [0,2\pi ]$, $\phi \in [0,\pi /4]$, $r\in [0,\sqrt{2}]$

⚠️ 常见错误清单（考前必看）

#	错误	为什么错	正确做法
1	极坐标忘了乘 $r$	$dxdy=rdrd\theta$，$r$是雅可比	写下代换时立刻在旁边标出$rdrd\theta$
2	球面坐标忘了 $r^2\sin \phi$	$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$	同理，写下代换时标出微元
3	交换次序后限写反	没画图，凭感觉改限	必须画图再写限
4	对称性用了但区域不对称	只看被积函数不管区域	先验证区域对称性，再看被积函数奇偶
5	截面法用在$f$依赖$x,y$时	$f(x,y,z)$在截面上不是常数，提不出去	确认$f$仅与$z$相关（或$y$/$x$）
6	外层积分限写成变量	外层限必须是常数	投影法得常数、穿线法得函数，不要搞反
7	X型/Y型判断错	没区分穿线方向	X型=垂直$x$轴穿；Y型=垂直$y$轴穿
8	$\lambda \to 0$理解成面积→0	定义用直径非面积	记住”窄长条”反例
9	被积函数代入极坐标后忘了乘$r$	只代换$x,y$的表达式	代换两步：①$f(x,y)\to f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ ②$dxdy\to rdrd\theta$
10	$\phi$范围写成$[0,2\pi ]$	球面坐标$\phi$是纬度角，$\phi \in [0,\pi ]$	画图：$\phi$从北极($0$)量到南极($\pi$)