§9.2 二重积分的计算法 — 极坐标与坐标变换

🏔️ 直觉地图

直角坐标算不出来 → 换个坐标系试试

就像一元积分中 $\int e^{x^2}dx$ 不好算，但我们知道 $\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy$ 用极坐标就能秒杀。选对坐标系，二重积分从”不可能”变成”一行解”。

什么时候用极坐标？	特征
🎯 被积函数含 $x^2+y^2$	$f(x^2+y^2)$、$e^{-(x^2+y^2)}$、$\sqrt{x^2+y^2}$
🔵 积分区域是圆/扇形/圆环	$x^2+y^2\le R^2$、$1\le x^2+y^2\le 4$
📐 区域边界含 $x^2+y^2$	圆域在第一象限、圆环、偏心圆

核心代价：$dxdy\to rdrd\theta$。多了一个 $r$，但区域变成矩形——区域简化的收益远大于额外的 $r$ 因子的代价。

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一、知识整合

§9.2.4 二重积分的换元法（一般理论）

定理（坐标变换法）：设 $f(x,y)$ 在 $xOy$ 平面的闭区域 $D$ 上连续，作一一变换

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$$

则：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

其中 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$ 为雅可比行列式。

⚠️ $|\cdot |$ 是绝对值——雅可比行列式可取负值，但面积微元的缩放因子必须是正数。

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🎯 §9.2.5 极坐标变换

标准极坐标（极点 = 原点）

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$

雅可比行列式：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$$

极坐标下的计算公式：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta }$$

💡 $rdrd\theta$ 是极坐标系下的面积微元。几何直观：极坐标网格的一小格面积 ≈ $r\cdot dr\cdot d\theta$（扇形微元）。

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平移极坐标（极点 ≠ 原点）

以 $(a,b)$ 为极点，$x$ 轴正向为极轴：

$$\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta \end{array}$$

雅可比行列式仍为 $r$（平移不改变微元缩放因子）。

🎯 适用场景：积分区域为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2$（偏心圆）。

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广义极坐标（椭圆区域）

$$\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta \\ y=br\sin \theta \end{array}(0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le 1)$$

雅可比行列式：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right|=abr$$

🎯 适用场景：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$。换元后区域变成单位圆 $r\le 1$。

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极坐标下区域的表示法

两步法：夹住法 + 穿线法

步骤	操作	得到
① 夹住法	区域夹在哪两条射线之间？	$\theta$ 范围 $[\alpha ,\beta ]$
② 穿线法	从极点引射线穿过区域，从哪条曲线穿入、穿出？	$r$ 范围 $[{\phi }_1(\theta ),{\phi }_2(\theta )]$

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三种常见极坐标区域类型

类型	不等式	积分公式	图示特征
情形1	$\alpha \le \theta \le \beta ,{\phi }_1(\theta )\le r\le {\phi }_2(\theta )$	${\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f\cdot rdr$	被两条 $r$ 曲线夹住（如圆环）
情形2	$\alpha \le \theta \le \beta ,0\le r\le \phi (\theta )$	${\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{\phi (\theta )}f\cdot rdr$	原点在边界上（如扇形）
情形3	$0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le \phi (\theta )$	${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\phi (\theta )}f\cdot rdr$	原点在区域内（如全圆）

⚠️ 积分次序：先 $r$ 后 $\theta$。极坐标下绝大多数情况都是 $r$ 在内层、$\theta$ 在外层。

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直角 ↔ 极坐标互化速查

直角坐标	极坐标
$0\le x\le 1,0\le y\le 1$	$0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le \frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$（复杂！）
$x^2+y^2\le R^2$	$0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le R$
$x^2+y^2\le 1,x\ge 0,y\ge 0$	$0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 1$
$1\le x^2+y^2\le 4$	$0\le \theta \le 2\pi ,1\le r\le 2$
$(x-1{)}^2+y^2\le 1$	$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 2\cos \theta$

💡 判断一个区域是否适合极坐标：看它在极坐标下能否写成矩形区域（$r$ 和 $\theta$ 的上限是常数或简单函数）。

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实用公式：Wallis 公式

极坐标积分常遇到 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$，直接用 Wallis 公式：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{ 为奇数}\end{array}$$

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📇 闪卡速记

直角 → 极坐标的核心代换？

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta$

雅可比行列式 $|\partial(x,y)/\partial(r,\theta)|$ = ?

$r$（注意加绝对值符号）

什么时候必须用极坐标？

被积函数含 $x^2+y^2$ 且积分区域为圆/扇形/圆环时

极坐标下积分次序？

先 $r$ 后 $\theta$（$\iint =\int d\theta \int rdr$）

极坐标区域 $\theta$ 范围怎么定？

夹住法——区域夹在哪两条射线之间

极坐标区域 $r$ 范围怎么定？

穿线法——从极点引射线，穿入/穿出的 $r$ 值

平移极坐标变换？

$x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$，雅可比仍为 $r$

椭圆区域的广义极坐标？

$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，$dxdy=abrdrd\theta$

单位圆 $x^2+y^2\le 1$ 的极坐标表示？

$0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le 1$

圆环 $1\le x^2+y^2\le 4$ 的极坐标表示？

$0\le \theta \le 2\pi ,1\le r\le 2$

偏心圆 $(x-1)^2+y^2\le 1$ 的极坐标？

平移极点：$x=1+r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，或直接 $r\le 2\cos \theta ,|\theta |\le \pi /2$

Wallis 公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ 奇偶情形？

$n$ 偶 → $\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}$；$n$ 奇 → $\frac{(n-1)!!}{n!!}$

坐标变换的面积微元换成什么？

$dxdy=|J|dudv$，其中 $J$ 是雅可比行列式

极坐标下 $r\,dr d\theta$ 的几何意义？

极坐标网格一小格的面积 ≈ $r\cdot dr\cdot d\theta$（扇形微元）

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🧪 自测题

A组：基础概念

A1. ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}f(x,y)dxdy$ 化为极坐标后为： A. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )dr$ B. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$ C. ${\int }_0^{1}dr{\int }_0^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rd\theta$

A2. $dxdy$ 变为 $rdrd\theta$ 是因为雅可比行列式 $=r$。

A3. 区域 $D:0\le x^2+y^2\le 1,x\ge 0$ 的极坐标 $\theta$ 范围是： A. $[0,\pi ]$ B. $[-\pi /2,\pi /2]$ C. $[0,\pi /2]$ D. $[-\pi ,\pi ]$

A4. 极坐标下总是先对 $\theta$ 积分，再对 $r$ 积分。

A5. 椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2\le 1$ 换元为 $x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，面积微元变为： A. $rdrd\theta$ B. $abrdrd\theta$ C. $\sqrt{ab}rdrd\theta$ D. $(a+b)rdrd\theta$

A6. ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\sqrt{x^2+y^2}dxdy$ 用直角坐标也能直接计算。

B组：基本计算

B1. 用极坐标计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\sqrt{x^2+y^2}dxdy$

B2. 用极坐标计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}(x^2+y^2)dxdy$

B3. 计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le a^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$

B4. 计算 ${\iint }_D{e}^{\frac{y}{x}}dxdy$，其中 $D$ 由 $x^2+y^2\le 1$ 在第一象限部分 + $y\le x$ 围成。

$${\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x-y{)}^{2}d\sigma \text{（对/错）}$$

B5. 计算 ${\iint }_{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 1}(x+y)dxdy$

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}{e}^{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2)dxdy$$

C组：综合应用

C1. 求球体 $x^2+y^2+z^2\le 4a^2$ 被圆柱面 $x^2+y^2=2ax$（$a>0$）截得的含在柱面内的立体体积。

C2. 设 $D$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，计算 ${\iint }_D\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}dxdy$

C3. 设 $D:x^2+y^2\le 1$，计算 ${\iint }_D\frac{x^2+y^2}{1+(x^2+y^2{)}^2}dxdy$

$${\iint }_{0\le x,y\le 1}(\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$$

C4. 求由直线 $x+y=c,x+y=d,y=ax,y=bx$（$0<c<d,0<a<b$）围成的闭区域的面积。