§9.1 二重积分的概念与性质

🏔️ 直觉地图

一元 → 二元：从”线”到”面”的质变

一元定积分	二元二重积分
求曲边梯形面积	求曲顶柱体体积
在区间 $[a,b]$ 上积分	在平面区域 $D$ 上积分
${\int }_a^{b}f(x)dx$	${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$
”分割→近似→求和→取极限”	同一套思想，维度升级

🎯 核心直觉：二重积分 = 把平面区域切成无数小片，每片上的函数值乘以小片面积，再全部加起来取极限。就像用无数细柱逼近一个曲面下的体积。

为什么学这一章？ 定积分解决了一维累积量（面积、弧长），二重积分将累积量推广到二维区域（体积、质量、重心、转动惯量）。工程中的平板质量、曲面面积、薄片重心都靠它。

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一、知识整合

§9.1.1 二重积分的概念

回顾：定积分引例

求曲边梯形面积 $A$（$y=f(x)\ge 0$, $x\in [a,b]$）：

四步法：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限

1. 分割：$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$，$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$
2. 近似代替：$\Delta A_i\approx f({\xi }_i)\Delta x_i$（${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$）
3. 求和：$A\approx \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$
4. 取极限：$A=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}f(x)dx$，其中 $\lambda =\max \{\Delta x_i\}$

⚠️ 分割是基础，近似代替是关键。

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引例1：曲顶柱体的体积

• 底：$xOy$ 面上的有界闭区域 $D$
• 顶：连续曲面 $z=f(x,y)\ge 0$
• 侧面：以 $D$ 的边界为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面

四步法求解：

1. 分割：将 $D$ 任意分为 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n$（$\Delta {\sigma }_k$ 既表示区域，又表示其面积）

2. 近似代替：在每个 $\Delta {\sigma }_k$ 中任取 $({\xi }_k,{\eta }_k)$，则

   $$\Delta V_k\approx f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$

3. 求和：$V\approx \sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

4. 取极限：令 $\lambda$ 为这 $n$ 个小区域直径的最大者，则

   $$V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$

💡 **“直径”**指的是小区域内任意两点之间距离的最大值。用直径（而非面积）趋于零，保证区域的任意性——一个小区域可以很窄很长（面积大但直径小），这样分割的任意性更强。

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引例2：平面薄片的质量

平面薄片占 $xOy$ 面上区域 $D$，面密度 $\mu (x,y)>0$ 为连续函数。

四步法求解：

1. 分割：$D$ → $n$ 小块 $\Delta {\sigma }_k$
2. 近似代替：$\Delta M_k\approx \mu ({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$
3. 求和：$M\approx \sum _{k=1}^n\mu ({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$
4. 取极限：$M=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\mu ({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

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两个引例的共性

共同点	说明
方法	微元思想：“分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限”
结构	$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\boxed{\text{被积函数}}\times \boxed{\text{微元面积}}$

→ 抽去具体背景，即为二重积分的定义。

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🎯 二重积分的定义

定义：设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_k$（$k=1,2,\dots ,n$），在每个 $\Delta {\sigma }_k$ 中任意取一点 $({\xi }_k,{\eta }_k)$，作和

$$\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$

若当 $\lambda =\max \{d(\Delta {\sigma }_k)\}\to 0$ 时，上述和的极限存在（且与 $D$ 的分法和 $({\xi }_k,{\eta }_k)$ 的取法无关），则称此极限为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记为

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$

⚠️ 双重任意性是定义的精髓：划分任意 + 取点任意 → 只有函数足够”好”（如连续），极限才能唯一存在。

术语：

• $f(x,y)$ — 被积函数
• $d\sigma$ — 面积微元（面积元素）
• $D$ — 积分域
• $\sum f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$ — 积分和（黎曼和）

可积性条件： 若 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续（或分片连续），则在 $D$ 上可积。

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直角坐标系下的二重积分

在直角坐标系下，常用平行于坐标轴的直线划分 $D$，此时小区域为矩形：

$$\Delta {\sigma }_k=\Delta x_k\cdot \Delta y_k$$

因此：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

其中 $dxdy$ 称为直角坐标系下的面积微元。

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几何意义与物理意义

意义	表达式	说明
几何意义	$V={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$	以 $D$ 为底、$z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积
物理意义	$M={\iint }_D\mu (x,y)d\sigma$	面密度为 $\mu (x,y)$ 的平面薄片质量

💡 当 $f(x,y)\equiv 1$ 时，${\iint }_{D}1d\sigma =\sigma$（区域 $D$ 的面积）

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§9.1.2 二重积分的性质

性质1：线性性质

设 $c_1,c_2$ 为常数，则：

$${\iint }_D[c_{1}f(x,y)+c_{2}g(x,y)]d\sigma =c_1{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +c_2{\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

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性质2：积分区域可加性

若 $D=D_1\cup D_2$（$D_1,D_2$ 除边界外无公共点），则：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

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性质3：面积性质

若 $f(x,y)\equiv k$（常数）在 $D$ 上，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则：

$${\iint }_{D}kd\sigma =k\sigma$$

特别地，$k=1$ 时：

$${\iint }_{D}1d\sigma =\sigma$$

⚠️ 此性质常逆用：已知某个二重积分，反求区域面积。

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性质4：单调性（含四条推论）

若在 $D$ 上总有 $f(x,y)\ge g(x,y)$，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \ge {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

推论1（非负性）：若 $f(x,y)\ge 0$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \ge 0$

推论2（严格正性）：若 $f(x,y)\ge 0$ 连续且在至少一点处 $>0$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma >0$

推论3（绝对值不等式）：

$$\left|{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \right|\le {\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$$

推论4（子区域单调）：若 $D_1\subset D_2$ 且 $f(x,y)\ge 0$，则

$${\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

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性质5：估值不等式

设 $M,m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则：

$$m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\sigma$$

💡 直观理解：曲顶柱体体积介于”最矮平台”与”最高平台”体积之间。

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性质6：二重积分的中值定理

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$，使得：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$$

💡 几何意义：存在某个高度 $f(\xi ,\eta )$，使得以此高度为顶的平顶柱体体积 = 原曲顶柱体体积。即”以直代曲”总能在某处精准成立。

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🎯 性质7：对称性质（考试重点）

1) 关于 $x$ 轴对称（奇偶性）

设 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$D_1$ 为 $x$ 轴上方部分，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}0,& \text{若 }f(x,-y)=-f(x,y)(\text{关于 }y\text{ 的奇函数})\\ 2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma ,& \text{若 }f(x,-y)=f(x,y)(\text{关于 }y\text{ 的偶函数})\end{array}$$

🧠 口诀：奇零偶倍。$x$ 轴对称 → 看 $y$ 的奇偶性。

2) 关于 $y$ 轴对称

同理，$D$ 关于 $y$ 轴对称 → 看 $x$ 的奇偶性：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}0,& f(-x,y)=-f(x,y)\\ 2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma ,& f(-x,y)=f(x,y)\end{array}$$

3) 关于 $y=x$ 对称（轮换对称性）

若 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(y,x)dxdy$$

特别地：

$${\iint }_D[f(x,y)+f(y,x)]dxdy=2{\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

常用推论：

• ${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy=2{\iint }_D{x}^{2}dxdy=2{\iint }_D{y}^{2}dxdy$
• ${\iint }_D(x^3-y^3)dxdy=0$（因为 $x^3-y^3$ 交换 $x,y$ 变号）
• 若 $f(y,x)=-f(x,y)$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=0$

⚠️ 判断 $y=x$ 对称：将 $D$ 的表达式中 $x$ 与 $y$ 互换后区域不变。

4) 推广：关于 $y=a$ 对称（考研选学）

若 $D$ 关于 $y=a$ 对称，被积函数关于变量 $y$ 在 $y=a$ 处有奇偶性：

$$f(x,2a-y)=\pm f(x,y)$$

→ 奇零偶倍（类似 $x$ 轴对称的推广）

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📇 闪卡速记

二重积分的定义式是什么？

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$（$\lambda$ 为小区域直径的最大值）

直角坐标系下面积微元怎么写？

$d\sigma =dxdy$，故 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$

二重积分的几何意义？

以 $D$ 为底、$z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积（$f\ge 0$ 时）

$f\equiv 1$ 时二重积分等于什么？

${\iint }_{D}1d\sigma =\sigma$（$D$ 的面积）

线性性质怎么表述？

${\iint }_D(c_{1}f+c_{2}g)d\sigma =c_1{\iint }_{D}fd\sigma +c_2{\iint }_{D}gd\sigma$

区域可加性？

$D=D_1\cup D_2$（不重叠）→ 积分 = 两部分积分之和

绝对值不等式？

$|{\iint }_{D}fd\sigma |\le {\iint }_D|f|d\sigma$

估值不等式？

$m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\sigma$（$m,M$ 为最小/最大值，$\sigma$ 为面积）

中值定理？

${\iint }_{D}fd\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$（存在 $(\xi ,\eta )\in D$）

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 关于 $y$ 为奇函数？

积分 = 0（奇零）

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 关于 $y$ 为偶函数？

积分 = $2{\iint }_{D_1}fd\sigma$（$D_1$ 为上半部分，偶倍）

$D$ 关于 $y=x$ 对称，结论是？

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(y,x)dxdy$（轮换对称性）

$\iint_D (x^2+y^2)dxdy$ 关于 $y=x$ 对称？

$=2{\iint }_D{x}^{2}dxdy=2{\iint }_D{y}^{2}dxdy$

可积的充分条件？

$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续（或分片连续）

定义中 $\lambda$ 是什么？

小区域直径（而非面积）的最大值，$\lambda \to 0$ 保证区域任意收缩

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🧪 自测题

A组：基础概念（判断/选择）

A1. 二重积分 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 的定义中，对 $D$ 的分法必须是等分。

A2. 若 $f(x,y)\ge 0$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \ge 0$。

A3. 若 $D$ 关于 $y$ 轴对称且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数，则积分为零。

A4. $\left|{\iint }_{D}fd\sigma \right|={\iint }_D|f|d\sigma$ 总成立。

A5. ${\iint }_{D}3dxdy$（$D$ 为矩形 $[0,1]\times [0,2]$）的值是： A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

A6. 若 $D$ 关于 $y=x$ 对称且 ${\iint }_D{x}^{2}dxdy=3$，则 ${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy=$ A. 3 B. 6 C. 9 D. 不能确定

A7. 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则一定存在 $(\xi ,\eta )\in D$ 使得 ${\iint }_{D}fd\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$。

A8. 定义中的小区域用直径的最大值趋于零，是因为直径不能反映小区域的大小。

B组：基本技能（计算/判定）

B1. 判断二重积分 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2-1)dxdy$ 的符号。

B2. 判断二重积分 ${\iint }_{|x|+|y|\le 1}\ln (x^2+y^2)dxdy$ 的符号（$0<x^2+y^2<1$）。

B3. 利用估值不等式，估计 ${\iint }_{x^2+y^2\le 4}(x^2+4y^2+9)d\sigma$ 的范围。

B4. 设 $D$ 为 $x^2+y^2\le 1$ 在第一象限部分，判断：

$${\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x-y{)}^{2}d\sigma \text{（对/错）}$$

B5. 利用对称性求极限：

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}{e}^{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2)dxdy$$

C组：综合应用

C1. 设 $D:0\le x\le 1,0\le y\le 1$，判定 ${\iint }_D(x-y)d\sigma$ 的符号。

C2. 证明：${\iint }_{0\le x,y\le 1}\frac{e^{\sin x}}{e^{\sin y}+e^{\sin x}}dxdy\ge 1$

C3. 利用对称性求：

$${\iint }_{0\le x,y\le 1}(\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$$

C4. 设 $D$ 为 $x^2+y^2\le r^2$，求 $\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{r^4}{\iint }_D{e}^{x^2+y^2}\cos (x+y)dxdy$。