§11.3 幂级数（二）— 和函数

一、和函数的连续性

定理 1（和函数的连续性） 幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛域上是连续函数。

特别地，若 $x_0$ 是收敛点，则

${\lim }_{x\to x_0}S(x)=S(x_0)$

这意味着在收敛区间 $(-R,R)$ 内，和函数不仅连续，而且具有更好的分析性质（可导、可积）。

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二、幂级数的四则运算

设 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 与 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$ 的收敛半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，令 $R=\min \{R_1,R_2\}$。

2.1 加法与减法

当 $|x|<R$ 时：

${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n$

2.2 乘法 — 柯西乘积 (Cauchy Product)

当 $|x|<R$ 时：

$\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$

其中 柯西乘积系数：

$c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$

即 $c_0=a_0{b}_0$，$c_1=a_0{b}_1+a_1{b}_0$，$c_2=a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0$，……

2.3 收敛半径变化规则

情形	收敛半径	说明
$R_1\ne R_2$	$R=\min \{R_1,R_2\}$	和/差/乘积的收敛半径 = 较小者
$R_1=R_2$	$R\ge R_1$	可能大于 $R_1$（系数相消）

⚠️ 常见误区：${\sum }_{n=0}^{\infty }(a_n+b_n)x^n$ 的收敛半径不一定等于 $\min \{R_1,R_2\}$！

反例：$\sum x^n$ 与 $\sum -x^n$ 的收敛半径均为 $1$，但 $\sum (1-1)x^n=0$ 的收敛半径为 $+\infty$。

📌 考研性质：设 $\sum a_n{x}^n$ 和 $\sum b_n{x}^n$ 的收敛域分别为 $I_1$ 和 $I_2$，且 $a_n\ne -b_n$，则 $\sum (a_n\pm b_n)x^n$ 的收敛域为 $I_1\cap I_2$。

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三、逐项求导与逐项积分 ⭐核心

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$，和函数为 $S(x)$。

3.1 逐项求导定理

定理 3（逐项求导） 在收敛区间 $(-R,R)$ 内，和函数可导，且可逐项求导：

$S^{\prime }(x)={\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$

关键性质：

1. 收敛半径不变：导级数与原幂级数有相同的收敛半径 $R$。

   证明思路：$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{(n+1)a_{n+1}}{n{a}_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}\cdot \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

2. 端点敛散性可能改变：

   • 原来收敛 $\to$ 现在可能发散

   • 原来发散 $\to$ 现在一定发散（即导级数在端点不可能比原级数”更好”）

   例：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n^2}$ 在 $x=\pm 1$ 处均收敛（$p=2>1$）， 但其导级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n}$ 在 $x=1$ 处发散（调和级数），仅在 $x=-1$ 处收敛（交错调和级数）。

3. 在 $(-R,R)$ 内可反复任意有限次求导。

3.2 逐项积分定理

定理 4（逐项积分） 在收敛区间 $(-R,R)$ 内，和函数可积，且可逐项积分：

${\int }_0^{x}S(t)dt={\int }_0^x\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\right)dt={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$

关键性质：

1. 收敛半径不变：积级数与原幂级数有相同的收敛半径 $R$。

2. 端点敛散性可能改变：

   • 原来发散 $\to$ 现在可能收敛

   • 原来收敛 $\to$ 现在一定收敛（即积级数在端点不可能比原级数”更差”）

   例：${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=\frac{1}{1-x}$ 在 $x=-1$ 发散， 但其积级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$ 在 $x=-1$ 收敛（$\ln 2$）。

3. 在 $(-R,R)$ 内可反复任意有限次积分。

3.3 逐项求导与逐项积分对比速查

操作	收敛半径	端点：原来收敛 $\to$	端点：原来发散 $\to$
求导	不变 $R$	可能发散	一定发散
积分	不变 $R$	一定收敛	可能收敛

💡 记忆口诀：求导变差，积分变好。

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四、求和函数的典型方法

方法总览

求幂级数的和函数
├── 方法一：利用已知展开式（拆项、换元、凑形式）
├── 方法二：逐项求导 → 化为已知级数 → 再积分回去
├── 方法三：逐项积分 → 化为已知级数 → 再求导回去
└── 方法四：建立关于和函数的微分方程（系数含阶乘/递推）

4.1 方法一：利用已知展开式

将原级数通过系数拆项、变量替换等方法，凑成已知和函数的幂级数形式。

适用场景：系数为有理分式、可拆分为简单形式。

步骤：

1. 对系数 $a_n$ 进行拆项变形
2. 凑成已知展开式的形式
3. 写出和函数，注意收敛域

4.2 方法二：逐项求导消系数

适用场景：系数含分母（如 $a_n=\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n+1}$ 等）。

步骤：

1. 对原级数逐项求导，消去分母
2. 化为几何级数等已知级数，求出 $S^{\prime }(x)$
3. 对 $S^{\prime }(x)$ 积分回来：$S(x)=S(0)+{\int }_0^x{S}^{\prime }(t)dt$
4. 确定积分常数 $S(0)=a_0$

4.3 方法三：逐项积分消系数

适用场景：系数含分子为 $n$ 的因子（如 $a_n=n$、$n+1$ 等）。

步骤：

1. 先提取适当的因子使积分后简单
2. 对级数逐项积分，消去分子中的 $n$
3. 化为几何级数等已知级数，求出积分结果
4. 对结果再求导回去

4.4 方法四：微分方程法

适用场景：系数含阶乘 $n!$ 或存在递推关系。

步骤：

1. 设和函数为 $S(x)$
2. 逐项求导，观察 $S^{\prime }(x)$ 与 $S(x)$ 的关系
3. 建立关于 $S(x)$ 的微分方程
4. 利用初始条件 $S(0)=a_0$ 求解

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五、手把手例题

例 1：逐项求导法 — 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 的和函数

这是最经典的”逐项求导消分母”例题。

Step 1：求收敛域 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1\Rightarrow R=1$ 当 $x=1$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散（调和级数） 当 $x=-1$：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛（交错调和级数，Leibniz 判别法） $\therefore$ 收敛域为 $[-1,1)$。

Step 2：设和函数 设 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$，$x\in [-1,1)$。

Step 3：逐项求导，消去分母 $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=1+x+x^2+\cdots =\frac{1}{1-x},|x|<1$

Step 4：积分回来 $S(x)-S(0)={\int }_0^x\frac{1}{1-t}dt=-\ln (1-x)$ 其中 $S(0)=0$（代入 $x=0$ 可知）。

Step 5：写出结果 $S(x)=-\ln (1-x),x\in [-1,1)$

拓展应用：令 $x=-1$，得 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2$

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例 2：逐项积分法 — 求 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$ 的和函数

这是最经典的”逐项积分消分子 $n$“例题。

Step 1：求收敛域 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{n}=1\Rightarrow R=1$ 当 $x=\pm 1$：通项 $n\cdot (\pm 1{)}^{n-1}\nrightarrow 0$，发散。 $\therefore$ 收敛域为 $(-1,1)$。

Step 2：设和函数 设 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$，$x\in (-1,1)$。

Step 3：逐项积分，消去 $n$ ${\int }_0^{x}S(t)dt={\sum }_{n=1}^{\infty }{\int }_0^{x}n{t}^{n-1}dt={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n=\frac{x}{1-x},|x|<1$

Step 4：再求导回去 $S(x)={\left(\frac{x}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{1\cdot (1-x)-x\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{(1-x{)}^2},x\in (-1,1)$

Step 5：变形 原级数也可写为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$ 乘以 $x$ 得常用形式：$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$，$|x|<1$。

拓展应用：求极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a+2a^2+\cdots +n{a}^n\right)$（$0<a<1$） $={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}^n=\frac{a}{(1-a{)}^2}$

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例 3：拆项法 — 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n}$ 的和函数

注意：首项是 $n=1$ 时 $\frac{x^0}{1}=1$。

Step 1：求收敛域 与例 1 类似，$R=1$。 $x=1$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散；$x=-1$：$\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ 收敛。 $\therefore$ 收敛域为 $[-1,1)$。

Step 2：设和函数 设 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n}$，$x\in [-1,1)$。

Step 3：乘以 $x$ 化为熟悉形式 $xS(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)(\text{例 1 的结果})$

Step 4：写出分段结果 当 $x\ne 0$ 时，$S(x)=-\frac{\ln (1-x)}{x}$ 当 $x=0$ 时，$S(0)=\frac{0^0}{1}=1$（或由级数首项直接得 $S(0)=1$）。

$\therefore S(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{\ln (1-x)}{x},& x\in [-1,0)\cup (0,1)\\ 1,& x=0\end{array}$

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例 4：微分方程法 — 求 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ 的和函数

这是系数含阶乘的经典例题。

Step 1：收敛域 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n+1}=0\Rightarrow R=+\infty$ 收敛域为 $(-\infty ,+\infty )$。

Step 2：设和函数 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

Step 3：逐项求导，发现规律 $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n-1}}{n!}={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}=S(x)$

Step 4：解微分方程 $S^{\prime }(x)=S(x)$，$S(0)=1$，解得 $S(x)=C{e}^x$，由 $S(0)=1$ 得 $C=1$。

$\therefore S(x)=e^x,x\in (-\infty ,+\infty )$

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例 5：综合法 — 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$ 的和函数

Step 1：收敛域 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{2n-1}{2n+1}=1$，$R=1$。 端点：$x=\pm 1$ 时 $\sum \frac{1}{2n-1}$ 发散。 $\therefore$ 收敛域为 $(-1,1)$。

Step 2：逐项求导 $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{2n-2}=1+x^2+x^4+\cdots =\frac{1}{1-x^2},|x|<1$

Step 3：积分回来 $S(x)={\int }_0^x\frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},x\in (-1,1)$

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六、常见已知和函数速查表

编号	幂级数	和函数	收敛域
①	$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$	$\frac{1}{1-x}$	$(-1,1)$
②	$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n$	$\frac{1}{1+x}$	$(-1,1)$
③	$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$	$-\ln (1-x)$	$[-1,1)$
④	$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}$	$\ln (1+x)$	$(-1,1]$
⑤	$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$	$\frac{1}{(1-x{)}^2}$	$(-1,1)$
⑥	$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$	$\frac{x}{(1-x{)}^2}$	$(-1,1)$
⑦	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$	$e^x$	$(-\infty ,+\infty )$
⑧	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\sin x$	$(-\infty ,+\infty )$
⑨	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$	$\cos x$	$(-\infty ,+\infty )$
⑩	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$	$(-1,1)$
⑪	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$	$\arctan x$	$[-1,1]$
⑫	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$	$(-\infty ,+\infty )$

💡 ①~③ 是最基础的三条，其余可由它们通过求导/积分/换元推出。

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七、闪卡

：幂级数的和函数在其收敛域上有何性质？

** 和函数 $S(x)$ 在收敛域上连续。

：逐项求导后收敛半径如何变化？

** 收敛半径 $R$ 不变。但端点敛散性可能改变：原来收敛的端点求导后可能发散；原来发散的端点求导后一定发散。

：逐项积分后收敛半径如何变化？

** 收敛半径 $R$ 不变。但端点敛散性可能改变：原来发散的端点积分后可能收敛；原来收敛的端点积分后一定收敛。

：柯西乘积的系数公式是什么？

** 设 $\sum a_n{x}^n$ 与 $\sum b_n{x}^n$ 相乘 = $\sum c_n{x}^n$，则 $c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$。

：两个幂级数收敛半径相同，和级数的收敛半径一定等于它吗？

** 不一定。当系数互相抵消时，收敛半径可能变大。反例：$\sum x^n+\sum (-x^n)=0$，收敛半径为 $+\infty$（而各自的 $R=1$）。

：什么情况下用逐项求导求和函数？

** 当系数含分母（如 $\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n+1}$）时——求导可消去分母，化为几何级数。

：什么情况下用逐项积分求和函数？

** 当系数含分子为 $n$ 的因子（如 $n$、$n+1$）时——积分可消去这些因子，化为几何级数。

：什么情况下用微分方程求和函数？

** 当系数含阶乘（$n!$、$(2n)!$）或系数有递推关系时——逐项求导后可能与原和函数建立关系。

：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的和函数与收敛域是什么？

** $S(x)=-\ln (1-x)$，收敛域 $[-1,1)$。（注：$x=-1$ 时收敛，$x=1$ 时发散）

：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数与收敛域是什么？

** $S(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$，收敛域 $(-1,1)$。（注：两端点均发散）

## 八、自测题

A 组（基础题）

A1. 求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收敛域与和函数。

查看答案

解： $R={\lim }_{n\to \infty }\frac{1/(n+1)}{1/(n+2)}=1$。$x=1$ 发散，$x=-1$ 条件收敛。收敛域 $[-1,1)$。

乘 $x$：$xS(x)=\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}$。求导：$(xS(x){)}^{\prime }=\sum x^n=\frac{x}{1-x}$。

积分：$xS(x)={\int }_0^x\frac{t}{1-t}dt=-x-\ln (1-x)$。

$\therefore S(x)=-\frac{\ln (1-x)}{x}-1$（$x\ne 0$），$S(0)=\frac{1}{2}$。

A2. 求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (n+1) x^n$ 的收敛域与和函数。

查看答案

解： $\sum (n+1)x^n=\sum n{x}^n+\sum x^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}+\frac{x}{1-x}=\frac{2x-x^2}{(1-x{)}^2}$。

收敛域：$(-1,1)$。

A3. 设 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$。逐项求导后，导级数的收敛半径为 \_\_\_\_\_，端点 $x=R$ 处原来收敛则求导后 \_\_\_\_\_（填"一定收敛/可能发散/一定发散"）。

查看答案

答案： 收敛半径 $R$（不变）；端点原来收敛则求导后 可能发散。

原因：逐项求导使系数增大，端点条件收敛可能变为发散。

A4. 求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2n+1}$ 的收敛域与和函数。（提示：先乘 $x$ 再逐项求导）

查看答案

解： $R=1$，$x=\pm 1$ 发散 $\Rightarrow$ 收敛域 $(-1,1)$。

乘 $x$：$xS(x)=\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，求导：$(xS(x){)}^{\prime }=\sum x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$。

积分：$xS(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$。$\therefore S(x)=\frac{1}{2x}\ln \frac{1+x}{1-x}$（$x\ne 0$），$S(0)=0$。

A5. 利用已知展开式求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$ 的和函数。

查看答案

解： $\sum \frac{2^n{x}^n}{n!}=\sum \frac{(2x{)}^n}{n!}=e^{2x}$。

由 $e^u=\sum u^n/n!$，令 $u=2x$ 即得。收敛域 $(-\infty ,+\infty )$。

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B 组（提高题）

B1. 求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^n$ 的和函数。（提示：拆项，$\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$）

查看答案

解： $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$。 $\sum \frac{n}{n+1}{x}^n=\underset{\frac{x}{1-x}}{\underbrace{\sum x^n}}-\sum \frac{x^n}{n+1}$。

后项乘 $x$：$x{S}_2=\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln (1-x)-x$，$S_2=-\frac{\ln (1-x)}{x}-1$。

$\therefore S=\frac{x}{1-x}+\frac{\ln (1-x)}{x}+1$（$x\ne 0$），$S(0)=0$。收敛域 $(-1,1)$。

B2. 求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$ 的收敛域与和函数。（提示：两次求导或两次积分）

查看答案

解： $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。 $S=\sum \frac{x^n}{n}-\sum \frac{x^n}{n+1}=-\ln (1-x)-T$。

$xT=-\ln (1-x)-x$，$T=-\frac{\ln (1-x)}{x}-1$。

$\therefore S=1+(\frac{1}{x}-1)\ln (1-x)$（$x\ne 0$），$S(0)=0$，$S(1)=1$，$S(-1)=1-2\ln 2$。 收敛域 $[-1,1]$。

B3. 设 $a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n}$，求 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n$ 的值。

查看答案

解： 设 $f(x)=\sum \frac{x^n}{n\cdot 2^n}$，则 $f^{\prime }(x)=\sum \frac{x^{n-1}}{2^n}=\frac{1}{2-x}$。

$\sum n{a}_n=f^{\prime }(1)=\frac{1}{2-1}=1$。答： $1$。

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C 组（挑战题）

C1. 求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) \cdot 2^n}$ 的和函数。（提示：先求导，识别为新级数形式）

查看答案

解： 逐项求导：$S^{\prime }(x)=\sum \frac{x^{2n}}{2^n}=\sum {\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n=\frac{1}{1-x^2/2}=\frac{2}{2-x^2}$。

积分：$S(x)={\int }_0^x\frac{2}{2-t^2}dt={\int }_0^x\frac{dt}{1-(t/\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}\ln \frac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2}-x}$。

收敛半径 $R=\sqrt{2}$，收敛域 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。

C2. 设 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$，$x \in [-1, 1]$。证明：$f'(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x}$（$x \neq 0$），并求 $f'(0)$。

查看答案

解： 逐项求导：$f^{\prime }(x)=\sum \frac{x^{n-1}}{n}$。乘 $x$：$x{f}^{\prime }(x)=\sum \frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$。

$\therefore f^{\prime }(x)=-\frac{\ln (1-x)}{x}$（$x\ne 0$）。 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{x+O(x^2)}{x}=1$，故 $f^{\prime }(0)=1$。

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