§11.2 常数项级数的审敛法

🏔️ 直觉地图：§11.1 告诉我们什么是级数、收敛是什么——但光知道定义不够，就像只知道”跑完100米就是冠军”不会让你跑得更快。§11.2 就是要教会你怎么判断一个级数是否收敛。正项级数最简单——只要部分和不跑到无穷大就行；交错级数靠”摆幅越来越小”收敛；任意项级数则有”绝对值收敛⇒原级数收敛”这条高速公路。整个审敛法体系，本质上是在不同的条件下比较”谁更接近收敛/发散家族”。

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§11.2.1 正项级数的审敛法

定义

若 $u_n\ge 0$（$n=1,2,\dots$），则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 为正项级数。

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方法一：基本定理（方法三）⭐

定理1：正项级数收敛的充要条件是其部分和数列 $\{S_n\}$ 有界。

分析：正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 是一单调递增数列（每加一项非负，$S_n$ 只增不减）。单调递增数列有极限 ⇔ 有上界。因此：

$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛}⟺\{S_n\}\text{ 有界}}$

🎯 口诀：正项级数想收敛，部分和得有上限！

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方法二：比较审敛法

2.1 特殊形式（定理2）

设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 为正项级数，且 $u_n\le v_n$（$n=1,2,3,\dots$），则：

情形	结论
强级数 $\sum v_n$ 收敛	⇒ 弱级数 $\sum u_n$ 也收敛
弱级数 $\sum u_n$ 发散	⇒ 强级数 $\sum v_n$ 也发散

🎯 口诀：大的收敛 ⇒ 小的收敛；小的发散 ⇒ 大的发散。

2.2 一般形式（定理3）

设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 为正项级数，若存在常数 $k>0$ 和 $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$，当 $n>N$ 时 $u_n\le k{v}_n$，则结论同上。

💡 因为有限项不影响敛散性，做题时第一步就可以假设对一切 $n$ 有 $u_n\le k{v}_n$。

2.3 极限形式（定理4，最常用！）⭐

设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 为正项级数，记 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$，则：

$l$ 的值	结论
$0<l<+\infty$	$\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散
$l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛	⇒ $\sum u_n$ 收敛
$l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散	⇒ $\sum u_n$ 发散

🎯 口诀：比值极限有限非零→同命；比值零跟收敛走；比值无穷跟发散走。

2.4 等价形式（定理5）

若 $u_n\sim v_n$（$n\to \infty$），即等价无穷小，则 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散。

⚠️ 注意：等价的正项级数同敛散，但等价的正负项级数不一定同敛散。

📊 标准参照级数表（比较审敛法的”标尺”）

级数	标准形式	收敛条件	发散条件	和	备注
几何级数	$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n$	$\Vert q\Vert <1$	$\Vert q\Vert \ge 1$	$\frac{a}{1-q}$	最重要参照
$p$-级数	$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$	$p>1$	$p\le 1$	—	$p=1$ 是调和级数
$p$-对数级数	$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}$	$\alpha >1$；或 $\alpha =1$ 且 $\beta >1$	其余情况	—	考研重点
$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$	—	✅ 收敛	—	$1$	裂项求和
$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}$	—	✅ 收敛	—	$e-1$	比阶乘快

💡 选题策略：先看 $u_n$ 的无穷小阶数——

• 若 $u_n\sim \frac{C}{n^p}$，用 $p$-级数比较：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
• 若 $u_n\sim C{q}^n$，用几何级数比较：$\Vert q\Vert <1$ 收敛，$\Vert q\Vert \ge 1$ 发散

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方法三：比值审敛法（达朗贝尔 d’Alembert）⭐

设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho$，则：

$\rho$ 的值	结论
$\rho <1$	级数绝对收敛
$\rho >1$ 或 $\rho =+\infty$	级数发散（且 $\lim u_n\ne 0$）
$\rho =1$	⚠️ 失效（需换别的方法）

🎯 口诀：比值小于1绝对收，大于1发散走，等于1换招数。

证明思路（$\rho <1$ 情形）：$\exists r\in (\rho ,1)$，使 $n$ 充分大时 $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|<r$，从而 $\Vert u_n\Vert <C{r}^n$，与收敛的几何级数比较。

💡 适用范围：一般项含 $n!$、指数幂 $a^n$ 时优先使用比值法。

注意：

1. 对一切 $p$-级数 $\sum 1/n^p$，总有 $\rho =\lim \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=1$，所以比值法对 $p$-级数完全失效。
2. $\rho <1$ 得到的是绝对收敛（强于收敛），对任意项级数也适用。

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方法四：根值审敛法（柯西 Cauchy）⭐

设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n|}=\rho$，则：

$\rho$ 的值	结论
$\rho <1$	级数绝对收敛
$\rho >1$ 或 $\rho =+\infty$	级数发散
$\rho =1$	⚠️ 失效（需换别的方法）

🎯 口诀：开n次方极限小于1绝对收，大于1发散走，等于1换招数。

两种方法的比较：

	比值法	根值法
适用范围	含 $n!$ 优先	含 $[f(n){]}^n$ 优先
判定能力	比值法能判的 ⇒ 根值法也能判	反之不一定
p-级数	失效 ($\rho =1$)	失效 ($\rho =1$)

💡 原因：若 $\lim \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho$ 存在，则 $\lim \sqrt[n]{\Vert u_n\Vert }=\rho$ 也成立（由斯笃兹定理可证）。但根值法对某些级数（如 $\sum \frac{2+(-1{)}^n}{3^n}$）可用而比值法不行。

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方法五：积分审敛法（方法五）🧠

定理：设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上非负、单调递减、连续，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 与广义积分 ${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 同敛散。

几何意义：$f(n+1)\le {\int }_n^{n+1}f(x)\mathrm{d}x\le f(n)$，“左和”和”右和”从两边夹住积分。

🎯 口诀：级数积分一家亲，单调递减同敛散。

经典应用：

$f(x)$	级数	积分	结论
$\frac{1}{x^p}$	$\sum \frac{1}{n^p}$	${\int }_1^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$	$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
$\frac{1}{x{\ln }^{\beta }x}$	${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{\ln }^{\beta }n}$	${\int }_2^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{\beta }x}$	$\beta >1$ 收敛，$\beta \le 1$ 发散

🧠 考研竞赛必备：$\sum \frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}$ 的敛散性——

• $\alpha >1$：收敛
• $\alpha =1$：$\beta >1$ 收敛，$\beta \le 1$ 发散
• $\alpha <1$：发散

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§11.2.2 交错级数的审敛法

定义

形如

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots (u_n>0)$

或

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n=-u_1+u_2-u_3+u_4-\cdots (u_n>0)$

的级数，称为交错级数。

例：交错调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ 是条件收敛的典型代表。

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莱布尼茨审敛法 ⭐

若交错级数 $\sum (-1{)}^{n-1}{u}_n$ 满足两个条件：

1. $u_{n+1}\le u_n$（即 $\{u_n\}$ 单调递减）
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

则级数收敛，且其和 $S\le u_1$，余项 $\Vert r_n\Vert \le u_{n+1}$。

🎯 口诀：单调递减趋于零，莱布尼茨就判定。

几何直觉（“走路模型”）：一人站在原点，第一项正表示向右走 $u_1$，第二项负表示向左走 $u_2$……因为越来越小的摆动（$u_n\searrow 0$），左右振幅越来越小，最终稳定在某个位置。

证明要点：

• 偶数项部分和 $S_{2n}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\cdots +(u_{2n-1}-u_{2n})$ — 单调递增
• $S_{2n}\le u_1$ — 有上界
• 故 $\lim S_{2n}$ 存在，结合 $\lim u_n=0$ 得 $S_{2n-1}$ 同极限

⚠️ 警告：仅满足 $\lim u_n=0$ 而不满足单调递减的交错级数不一定收敛。

反例：$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}$ 的绝对值项不单调递减，虽通项→0，但级数发散。

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§11.2.3 任意项级数的审敛法

绝对收敛与条件收敛

对于$\underline{\text{任意项级数}}$ $\sum u_n$（$u_n$ 可正可负），定义其绝对值级数为 $\sum |u_n|$。

定义	条件
绝对收敛	$\sum \Vert u_n\Vert$ 收敛
条件收敛	$\sum \Vert u_n\Vert$ 发散，但 $\sum u_n$ 收敛

🎯 交错调和级数 $\sum (-1{)}^{n-1}/n$ 是条件收敛的经典例子。

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核心定理：绝对收敛 ⇒ 收敛（定理7）⭐

$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|\text{ 收敛}⟹\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛}}$

证明（两种方法）：

法一：$0\le u_n+|u_n|\le 2|u_n|$。由比较审敛法，$\sum (u_n+|u_n|)$ 收敛。而 $u_n=(u_n+|u_n|)-|u_n|$，两级数之差也收敛。

法二（考研）：令 $p_n=\max \{u_n,0\}$（正部），$q_n=\max \{-u_n,0\}$（负部），则： $u_n=p_n-q_n,|u_n|=p_n+q_n$ $0\le p_n\le |u_n|$，故 $\sum p_n$ 收敛；同理 $\sum q_n$ 收敛。从而 $\sum u_n$ 收敛。

🎯 实战策略：面对任意项级数，先试绝对值级数——若绝对值级数收敛（用正项级数审敛法判定），则原级数绝对收敛，直接定论！

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绝对收敛与条件收敛的基本性质

性质	内容
	绝对收敛 + 绝对收敛
	绝对收敛 + 条件收敛
	条件收敛 + 条件收敛
重排定理（黎曼）	绝对收敛 $\Rightarrow$ 任意交换次序，和不变；条件收敛 $\Rightarrow$ 可经重排收敛于任意预给数值
柯西乘积	两个绝对收敛级数的柯西乘积仍绝对收敛，其和为两和的乘积

🧠 深刻事实：实数级数的”加法交换律”对无穷项不再无条件成立。仅当级数绝对收敛时，交换律才保持。条件收敛时，连加法的交换律都失效——级数理论和有限算术的本质区别。

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✍️ 手把手例题

例1：比较审敛法（极限形式）

判别 $\sum _{n=1}^{\infty }\sin \frac{1}{n}$ 的敛散性。

步骤	操作
① 分析通项	$\sin \frac{1}{n}>0$（$n\ge 1$），正项级数
② 等价无穷小	$n\to \infty$ 时，$\sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}$
③ 选择参照	$\sum \frac{1}{n}$ 是调和级数，发散
④ 极限形式	$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1\in (0,+\infty )$
⑤ 结论	由比较审敛法极限形式，$\sum \sin \frac{1}{n}$ 发散 ❌

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例2：比值审敛法

判别 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n}{n!}$ 的敛散性。

步骤	操作
① 选方法	通项含 $n!$ 和 $3^n$ → 用比值法
② 求比值	$u_n=\frac{3^n}{n!}$，$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{3^n}=\frac{3}{n+1}$
③ 取极限	$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n+1}=0$
④ 判定	$\rho =0<1$ → 级数收敛 ✅

💡 用比值法判定后其实得到的是绝对收敛，因为我们去绝对值比的。

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例3：莱布尼茨审敛法（交错级数）

判别 $\sum _{n=2}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\ln n}$ 的敛散性，也判断是绝对收敛还是条件收敛。

步骤	操作
① 交错级数	可写为 ${\sum }_{n=2}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$，其中 $u_n=\frac{1}{\ln n}>0$
② 条件1：单调递减	$\ln (n+1)>\ln n\Rightarrow \frac{1}{\ln (n+1)}<\frac{1}{\ln n}$，即 $u_{n+1}<u_n$ ✅
③ 条件2：趋于零	$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\ln n}=0$ ✅
④ 莱布尼茨判定	两个条件都满足 ⇒ 级数收敛 ✅
⑤ 判断收敛类型	绝对值级数 $\sum \frac{1}{\ln n}$：用比较法，$\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n}$（$n$ 充分大），调和级数发散 ⇒ 绝对值级数发散
⑥ 最终结论	原级数条件收敛

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例4：根值审敛法

判别 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2+(-1{)}^n}{3^n}$ 的敛散性。

步骤	操作
① 选方法	通项含 $[\cdot {]}^n$ 形式 → 用根值法
② 开根号	$\sqrt[n]{\Vert u_n\Vert }=\frac{\sqrt[n]{2+(-1{)}^n}}{3}$
③ 取极限	$1\le 2+(-1{)}^n\le 3$，$\sqrt[n]{1}\le \sqrt[n]{2+(-1{)}^n}\le \sqrt[n]{3}$，夹逼→1
	$\rho =\lim \sqrt[n]{\Vert u_n\Vert }=\frac{1}{3}$
④ 判定	$\rho =\frac{1}{3}<1$ → 级数绝对收敛 ✅

💡 此题比值法也可用但根值法更直接。而且 $\Vert \frac{u_{n+1}}{u_n}\Vert$ 在 $n$ 的奇偶交替时不一定有极限，根值法更稳健。

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例5（综合·考研）：绝对值+泰勒展开

讨论 $\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\right)$ 的敛散性。

步骤	操作
① 观察通项	$n$ 大时 $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ 很小
② 泰勒展开	$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
	$\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\right)=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$
③ 分解级数	$\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ 条件收敛（莱布尼茨）
	$\sum \frac{1}{2n}$ 发散（调和级数 $p=1$）
④ 结论	原级数 = 收敛 + 发散 → 发散 ❌

🧠 泰勒分解法是考研高频技巧：将通项展成若干项之和，分别判断每个子级数的敛散性。

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八、自测题

A组 — 判断题

A1（判断）正项级数 $\sum u_n$ 收敛当且仅当 $\sum u_n$ 有界。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅（正项时部分和单增）

A2（判断）若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum 2u_n$ 也收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅（线性性质）

A3（判断）若 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 均为正项级数且 $u_n \le v_n$，$\sum v_n$ 发散则 $\sum u_n$ 发散。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：❌（大的发散不能推小的发散）

A4（判断）$p$-级数 $\sum 1/n^p$ 当 $p=2$ 时收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅

A5（判断）比值审敛法对一切级数都有效。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：❌（$\rho =1$ 时失效）

A6（判断）若 $\lim \left\

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

*答案：\frac{u_{n+1}}{u_n}\right*

A7（判断）交错级数 $\sum (-1)^{n-1} u_n$ 只要 $\lim u_n = 0$ 就收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（还需单调递减）

A8（判断）绝对收敛的级数一定收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅（定理7）

A9（判断）条件收敛的级数，其绝对值级数一定发散。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅（定义）

A10（判断）若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum u_n^2$ 一定收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：❌（反例：$u_n=(-1{)}^n/\sqrt{n}$，$u_n^2=1/n$ 发散）

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B组 — 计算题

B1 用比较审敛法判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ 的敛散性。

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解： 比较审敛法。$\because n^2+1>n^2$，$\therefore \frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$。

$\sum \frac{1}{n^2}$ 是 $p=2$ 的 $p$-级数，收敛。由比较审敛法，原级数收敛。

答： 收敛。

B2 用比值审敛法判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ 的敛散性。

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解： 比值审敛法。 $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{2^n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{2}{n+1}=0<1$。

$\therefore$ 级数收敛。答： 收敛。

B3 用莱布尼茨审敛法判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，并说明是绝对收敛还是条件收敛。

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解： 交错级数 $\sum (-1{)}^{n-1}{b}_n$，$b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$。

莱布尼茨条件：① $b_n$ 单调递减 ✓；② $\lim b_n=0$ ✓。$\therefore$ 收敛。

取绝对值 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$：$p=\frac{1}{2}<1$，$p$-级数发���。$\therefore$ 条件收敛。

答： 条件收敛。

B4 用根值审敛法判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ 的敛散性。

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解： 根值审敛法。 $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{{\left(\frac{n}{2n+1}\right)}^n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}<1$。

$\therefore$ 级数收敛。答： 收敛。

B5 用积分审敛法证明 $p$-级数 $\sum 1/n^p$ 的敛散性结论。

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解： 积分审敛法。$f(x)=\frac{1}{x^p}$，$x\in [1,+\infty )$，连续正值递减。

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^p}$：

• $p=1$：$\ln x{|}_1^{\infty }\to \infty$，发散
• $p<1$：$\frac{x^{1-p}}{1-p}{|}_1^{\infty }\to \infty$，发散
• $p>1$：$\frac{x^{1-p}}{1-p}{|}_1^{\infty }=\frac{1}{p-1}$，收敛

结论： $p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散。

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C组 — 综合题

C1 ⭐⭐ 讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 的敛散性。（提示：积分审敛法）

查看答案

解： 积分审敛法。$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$x\in [2,+\infty )$。

${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x\ln x}={\int }_2^{\infty }\frac{d(\ln x)}{\ln x}=\ln |\ln x|{|}_2^{\infty }\to \infty$。

反常积分发散 $\Rightarrow$ 级数发散。答： 发散。

C2 ⭐⭐⭐ 判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$ 的敛散性。莱布尼茨条件是否满足？（考研题变体）

查看答案

解： $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}+(-1{)}^n}$。

观察 $|a_n|\sim \frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$，但 $\{|a_n|\}$ 非单调（分母中含 $(-1{)}^n$ 项使大小交替变化）。

变形：$a_n=\frac{(-1{)}^n(\sqrt{n+1}-(-1{)}^n)}{n}=\frac{(-1{)}^n\sqrt{n+1}}{n}-\frac{1}{n}$。

前项条件收敛（莱布尼茨型），后项 $\sum 1/n$ 发散。$\therefore$ 原级数发散。

莱布尼茨条件不满足（$b_n=|a_n|$ 非单调递减）。

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⚠️ 常见错误 Top 5

#	错误	正确	说明
1	$\rho =1$ 时，比值法/根值法判定级数”收敛”或”发散”	❌ $\rho =1$ 时比值法和根值法失效，不能下任何结论！必须换别的方法（比较法、积分法、定义法等）	$p$-级数 $\sum 1/n^p$ 对一切 $p$ 都有 $\rho =1$，但 $p>1$ 收敛、$p\le 1$ 发散——同一$\rho$值两种结论都有可能
2	大的发散 → 小的发散	❌ 比较审敛法中，“强级数发散”不能推出”弱级数发散”。正方向是：大收敛→小收敛，小发散→大发散	例：$\sum 1/n$ 发散，但 $\sum 1/n^2$ 收敛（$1/n^2\le 1/n$ 对大不推小散！）
3	$\lim u_n=0$ 的任意项级数一定收敛	❌ 必要条件而非充分条件！$\lim u_n=0$ 不能保证级数收敛	调和级数 $\sum 1/n$ 通项→0 但发散。对于交错级数，还需”单调递减”。
4	等价级数一定同敛散	❌ 仅对正项级数成立！对于正负项交错的级数，等价不一定同敛散	例：$(-1{)}^n/\sqrt{n}\sim (-1{)}^n/\sqrt{n}+1/n$，前者条件收敛，后者发散（已含调和尾巴）
5	对任意项级数直接用正项审敛法	❌ 比值法 $\rho =\lim \Vert u_{n+1}/u_n\Vert$ 和根值法 $\rho =\lim \sqrt[n]{\Vert u_n\Vert }$ 对任意项级数适用（取绝对值），但比较审敛法（直接形式）只能用于正项级数。任意项级数先取绝对值，再用正项审敛法判断是否绝对收敛	绝对收敛 ⇒ 收敛这条捷径最常用：$\sum u_n$ → 取绝对值 $\sum \Vert u_n\Vert$ → 用正项级数方法判定 → 若收则原级数绝对收敛

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📝 总结：§11.2 的审敛法体系可以归纳为一张决策树：

级数 ∑u_n
  ├─ u_n ≥ 0（正项级数）
  │   ├─ 先看通项阶数 → 比较审敛法（极限形式）
  │   ├─ 含 n! / a^n → 比值法
  │   ├─ 含 [·]^n / n^n → 根值法
  │   └─ 可积通项 → 积分审敛法
  │
  ├─ u_n 正负交替 → 莱布尼茨审敛法
  │   └─ 单调递减 + 趋于零
  │
  └─ 任意项 → 先看 ∑|u_n|
      ├─ 收敛 → 绝对收敛 ✅
      └─ 发散 → 需单独判断 ∑u_n（可能是条件收敛）

🎯 核心心法：审敛不是死记公式，而是比较的艺术——找到合适的参照系（$p$-级数、几何级数），用极限、比值或根值去比，比出结果。