§10.6 高斯公式（Gauss 定理 / 散度定理）

§10.6 高斯公式

又名：Gauss 定理、散度定理（Divergence Theorem）。是 Green 公式从二维到三维的推广。把第二类闭曲面积分化为三重积分。

---

🏔️ 直觉地图

维度	Green (§9.3)	Gauss (§10.6)
区域	平面闭区域 $D$	空间闭区域 $\Omega$
边界	闭曲线 $L$（正向）	闭曲面 $\Sigma$（外侧）
积分转化	${\oint }_L$ → ${\iint }_D$	$\iint$ → ${\iiint }_{\Omega }$
核心量	$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$	$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

为什么学这一章？ §10.5 中球面外侧算得那么辛苦（分上下半球、分别定号），有了 Gauss 公式——直接化为三重积分，秒杀。

---

一、Gauss 定理

1.1 定理陈述

设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 围成，函数 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数。$\Sigma$ 取外侧，则：

$\boxed{\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz}$

🎯 一句口诀：闭曲面外侧第二类 → 散度三重积分

1.2 内侧怎么办？

$\iint =-{\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$

和 Green 公式中反向曲线取负完全一致。

1.3 分量形式

$\iint Pdydz={\iiint }_{\Omega }\frac{\partial P}{\partial x}dxdydz$

$\iint Qdzdx={\iiint }_{\Omega }\frac{\partial Q}{\partial y}dxdydz$

$\iint Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz$

---

二、使用 Gauss 公式的关键技巧

2.1 曲面不闭合？→ 补面

这是 Gauss 公式最核心的应用技巧：

$\iint ={\iiint }_{\Omega }⟹{\iint }_{\Sigma }={\iiint }_{\Omega }-{\iint }_{{\Sigma }_1}$

步骤	操作
①	补一个辅助曲面 ${\Sigma }_1$，使 $\Sigma +{\Sigma }_1$ 构成闭曲面
②	定好 ${\Sigma }_1$ 的侧（使闭曲面取外侧/内侧）
③	用 Gauss 公式算闭曲面上的积分
④	减去辅助面上的积分（辅助面通常是平面，直接算很简单）

⚠️ 辅助面的侧要一致：$\Sigma$ 是上侧 → 补底面 ${\Sigma }_1$ 应取下侧，使总体构成”外侧”。

2.2 有奇点？→ 挖洞（积分曲面特殊化）

和 Green 公式中挖去奇点完全一样。若 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 内部某点不可偏导，则：

• 以奇点为中心作小球面 ${\Sigma }_{\epsilon }$
• $\iint =\iint$（当散度为零时）
• 将积分曲面”特殊化”为小球面，用两类积分转化法计算

这对应 PPT 注3：“函数在 Ω 内有奇点，处理方程与格林公式一样——积分曲面特殊化”

2.3 被积函数不可偏导？→ 放弃 Gauss

若曲面方程是 $z=z(x,y)$ 但被积函数没有偏导数 → 只能用合一投影法，不能套 Gauss。

---

三、典型例题

例1（引例）：非闭曲面 → 补面

$I={\iint }_{\Sigma }(x^{3}z+x)dydz+yzdzdx-x^{2}zdxdy$，$\Sigma :z=2-x^2-y^2,1\le z\le 2$ 取上侧。

分析：$\Sigma$ 是开口向下的抛物面（碗状），不闭合。

解法：补底面 ${\Sigma }_1:z=1,x^2+y^2\le 1$，取下侧。记 $\Sigma +{\Sigma }_1$ 围成区域 $\Omega$。

P = x^3z+x,\quad Q = yz,\quad R = -x^2z \end{aligned}$$ $$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = (3x^2z+1) + z + (-x^2) = 3x^2z + z + 1 - x^2$$ 由 Gauss 公式（闭曲面外侧）： $$\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = \iiint_\Omega (3x^2z + z + 1 - x^2)\,dxdydz$$ 然后减去 $\Sigma_1$ 上的积分（$\Sigma_1$ 是平面，直接用公式法）即可。 ### 例2（经典）：锥面下侧 + Gauss > $I = \iint_\Sigma (x^2\cos\alpha + y^2\cos\beta + z^2\cos\gamma)\,dS$，$\Sigma: x^2+y^2=z^2,\; 0\leq z\leq h$ 取下侧。 **分析**：锥面的下侧 ≠ 外侧。先转化为第二类积分： $I = \iint_\Sigma x^2\,dydz + y^2\,dzdx + z^2\,dxdy$。 **补面**：$\Sigma_1: z=h, x^2+y^2 \leq h^2$，取上侧。 $\Sigma+\Sigma_1$ 构成闭曲面，Gauss 公式： $$\begin{aligned} \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} &= \iiint_\Omega (2x+2y+2z)\,dxdydz \\ &= 2\iiint_\Omega (x+y+z)\,dxdydz \end{aligned}$$ 由对称性（$\Omega$ 关于 $z$ 轴旋转对称），$\iiint x\,dxdydz = \iiint y\,dxdydz = 0$。 $\iiint z\,dxdydz = \int_0^h z \cdot \pi z^2\,dz = \pi\int_0^h z^3\,dz = \frac{\pi h^4}{4}$。 所以 $\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = 2 \cdot \frac{\pi h^4}{4} = \frac{\pi h^4}{2}$。 再算辅助面：$\iint_{\Sigma_1} z^2\,dxdy = \iint_{D: x^2+y^2\leq h^2} h^2\,dxdy = h^2 \cdot \pi h^2 = \pi h^4$。 （$x^2\,dydz$ 和 $y^2\,dzdx$ 在平面 $z=h$ 上正交性为 0） 所以 $I = \frac{\pi h^4}{2} - \pi h^4 = -\frac{\pi h^4}{2}$。 ### 例3（考研）：补面 + 柱坐标 > $I = \iint_\Sigma (x-1)^3\,dydz + (y-1)^3\,dzdx + (z-1)^3\,dxdy$，$\Sigma: 2z=x^2+y^2,\; z\leq 1$ 取上侧。 **补面**：$\Sigma_1: z=1, x^2+y^2 \leq 2$，取下侧。 $$\begin{aligned} \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} &= 3(x-1)^2 + 3(y-1)^2 + 3(z-1)^2 \\ &= 3[(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2] \end{aligned}$$ ⚠️ **定号分析**：$\Sigma$（抛物面上侧）+ $\Sigma_1$（平面下侧）→ 闭曲面法向量统一指向**内侧**，Gauss 公式需加负号： $$\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = \mathbf{-}\iiint_\Omega 3[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2]\,dxdydz$$ **为什么？** 对区域 $\Omega$（抛物面下方→平面 $z=1$），外侧 = 抛物面**下侧** + 平面**上侧**。题给均相反 → 内侧 → 整体取负。 --- 展开被积函数： $$3[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2] = 3(x^2+y^2+z^2 - 2x - 2y - 2z + 3)$$ 转化为柱坐标 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，区域 $\Omega: \frac{r^2}{2} \leq z \leq 1,\; 0 \leq r \leq \sqrt{2}$。 由对称性，$\iiint x\,dV = \iiint y\,dV = 0$，含 $x,y$ 一次项消去。 $$\begin{aligned} \iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2-2z+3)\,dV &= 3\int_0^{2\pi}\!\!d\theta \int_0^{\sqrt{2}}\!\! r\,dr \int_{r^2/2}^1 (r^2+z^2-2z+3)\,dz \\[4pt] &= 6\pi \int_0^{\sqrt{2}} r\!\left[(r^2+3)z + \frac{z^3}{3} - z^2\right]_{r^2/2}^1 dr \\[4pt] &= 6\pi \int_0^{\sqrt{2}} \!\left( -\frac{r^3}{2} - \frac{r^5}{4} - \frac{r^7}{24} + \frac{7r}{3} \right) dr \\[4pt] &= 6\pi \left[ -\frac{r^4}{8} - \frac{r^6}{24} - \frac{r^8}{192} + \frac{7r^2}{6} \right]_0^{\sqrt{2}} \\[4pt] &= 6\pi\!\left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{12} + \frac{7}{3} \right) = 6\pi \cdot \frac{17}{12} = \frac{17\pi}{2} \end{aligned}$$ 故闭曲面部分（加负号）：$\displaystyle \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = -\frac{17\pi}{2}$。 --- 辅助面 $\Sigma_1$（$z=1$ 下侧）： 在 $z=1$ 处 $(z-1)^3 = 0$，且 $\Sigma_1$ 为水平面 → $dydz = dzdx = 0$，仅剩 $dxdy$ 项： $$\iint_{\Sigma_1} (z-1)^3\,dxdy = -\iint_D 0\,dxdy = 0$$ --- $$\boxed{I = \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = -\frac{17\pi}{2} - 0 = -\frac{17\pi}{2}}$$ > 💡 **易错提醒**：本题两处易错——① 闭曲面方向判断（上侧+下侧=内侧，整体取负）；② 三重积分计算（柱坐标逐项积分，勿漏 $\times r$ 的 Jacobian）。 --- ## 四、§10.6.2 通量与散度 ### 4.1 通量（流量） 向量场 $\vec{A} = (P, Q, R)$ 穿过有向曲面 $\Sigma$ 的**通量**： $$\boxed{\Phi = \iint_\Sigma \vec{A} \cdot \vec{n}^0\,dS = \iint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy}$$ > 通量 = 流量 = 第二类曲面积分。 ### 4.2 散度 向量场 $\vec{A}$ 在点 $(x,y,z)$ 处的**散度**： $$\boxed{\operatorname{div} \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}$$ ### 4.3 Gauss 公式的向量形式 $$\boxed{\oiint_\Sigma \vec{A} \cdot \vec{n}^0\,dS = \iiint_\Omega \operatorname{div} \vec{A}\; dV}$$ > 🎯 **一句话**：穿过闭曲面的**通量** = 内部**散度的体积分**。 ### 4.4 散度计算示例 > 求 $\operatorname{div}(\operatorname{grad}(x^2+y^2+z^2))$。 $\operatorname{grad}(x^2+y^2+z^2) = (2x, 2y, 2z)$ $\operatorname{div}(2x, 2y, 2z) = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z) = 2+2+2 = 6$。 > 这就是物理中的 **Laplace 算子**：$\nabla^2 f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f)$。 --- ## 五、方法选择决策树 ``` 遇到第二类曲面积分 │ ├── Σ 是闭曲面？ │ ├── 是 → 直接用 Gauss！（外侧为正，内侧为负） │ └── 否 → 能补面变闭曲面？ │ ├── 是 → 补面 + Gauss - 辅助面积分 │ └── 否 ↓ │ ├── 有奇点？ │ ├── 是 → 挖洞 + 积分曲面特殊化 │ └── 否 ↓ │ ├── 法向量明显（球面等）？ │ └── 是 → 两类积分转化法 │ └── 只能投影？ ├── z=z(x,y) 且 P,Q,R 可偏导 → 合一投影法 └── 分项分别投 → 公式法（一投二代三定号） ``` --- ## 六、知识链全景 | 章节 | 公式 | 本质 | |:--|:--|:--| | §9.3 Green | $\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$ | 线→面 | | §10.6 **Gauss** | $\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$ | 面→体 | | §10.7 Stokes | $\oint_L Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\Sigma (\cdots)dS$（预告） | 空间线→面 | > Green 是平面版，Gauss 是空间版，Stokes 是空间曲线版——三个公式构成微积分基本定理的推广链。 --- ## 📇 闪卡速记 <!--flashcard-start--> ### 定理本身 > **Q: Gauss 公式的表达式是什么？** > A: $\oiint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$。闭曲面外侧第二类 → 散度三重积分。 > **Q: Gauss 公式的条件是什么？** > A: ① $\Sigma$ 是**分片光滑的闭曲面**；② $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上**一阶连续偏导**；③ $\Sigma$ 取**外侧**。 > **Q: 内侧的情况怎么处理？** > A: 加负号。$\oiint_{\Sigma_{\text{内}}} = -\iiint_\Omega \operatorname{div}\vec{A}\,dV$。 ### 核心技巧 > **Q: 曲面不闭合怎么办？** > A: **补辅助面**。$\iint_\Sigma = \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1}$。辅助面通常是平面（$z=0$ 或 $z=h$），辅助面上的积分直接用公式法算。 > **Q: 辅助面的侧怎么选？** > A: 使 $\Sigma+\Sigma_1$ 构成**外侧闭曲面**。$\Sigma$ 上侧 → $\Sigma_1$（底面）下侧；$\Sigma$ 下侧 → $\Sigma_1$（顶面）上侧。 ### 通量与散度 > **Q: 散度的定义是什么？** > A: $\operatorname{div}\vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$。就是 Gauss 公式中被积函数。 > **Q: Gauss 公式的向量形式？** > A: $\oiint_\Sigma \vec{A}\cdot\vec{n}^0\,dS = \iiint_\Omega \operatorname{div}\vec{A}\,dV$。通量 = 散度的体积分。 ### 特殊处理 > **Q: 有奇点怎么办？** > A: **积分曲面特殊化**（挖洞）。以奇点为中心作小球面，利用散度为零的特性，把原曲面积分转化为小球面上的积分。与 Green 公式处理奇点的方法完全一样。 <!--flashcard-end--> --- ## 🧪 自测题 ### A组 判断题 > A1. Gauss 公式把闭曲面上的第二类曲面积分化为三重积分。 > **答案**：✅ 正确。$\oiint_\Sigma \to \iiint_\Omega$。 > A2. Gauss 公式对闭曲面的内侧直接套用，结果相同。 > **答案**：❌ 内侧要加负号。分项逐一证明时，内侧对应的是 $z_1$ 取上、$z_2$ 取下，符号反了。 > A3. 若 $\Sigma$ 不闭合，可以通过补辅助面使其闭合，再用 Gauss 公式。 > **答案**：✅ 正确。这是 Gauss 公式最常用的技巧。 > A4. $\operatorname{div}\vec{A} = 0$ 意味着向量场在区域内"无源"。 > **答案**：✅ 正确。散度为零 = 无源场。此时 $\oiint_\Sigma = 0$，且可把积分曲面"缩"到奇点附近。 > A5. $\iint_\Sigma \vec{A}\cdot\vec{n}^0\,dS$ 称为向量场穿过 $\Sigma$ 的**散度**。 > **答案**：❌ 那是**通量**（流量）。散度是 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$。 ### B组 计算题 > B1. 用 Gauss 公式重新计算 $\oiint_\Sigma x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy$，$\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧。 > **答案**：$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = 1+1+1 = 3$。$= \iiint_\Omega 3\,dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$。（对比 §10.5 中分上下半球算，Gauss 一行搞定！） > B2. 计算 $\oiint_\Sigma x^2\,dydz + y^2\,dzdx + z^2\,dxdy$，$\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧。 > **答案**：$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = 2x+2y+2z$。$= \iiint_\Omega 2(x+y+z)\,dV$。球对称 → $\iiint x\,dV = \iiint y\,dV = \iiint z\,dV = 0$。结果 $= 0$。 > B3. 计算 $I = \iint_\Sigma z\,dxdy$，$\Sigma: z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 上侧。 > **提示**：非闭曲面，补底面 $\Sigma_1: z=0, x^2+y^2 \leq 1$ 取下侧。 > **答案**：$\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = \iiint_\Omega 1\,dV = \frac{2}{3}\pi$（半球体积）。$\iint_{\Sigma_1} z\,dxdy = \iint_D 0\,dxdy = 0$。所以 $I = \frac{2}{3}\pi$。 ### C组 综合题 > C1 ⭐ 计算 $\oiint_\Sigma (x^2\cos\alpha + y^2\cos\beta + z^2\cos\gamma)dS$，$\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧。 > **提示**：转化为第二类 $\oiint x^2dydz + y^2dzdx + z^2dxdy$。散度 $= 2x+2y+2z$。球对称性 → $0$。 > **答案**：$0$。 > C2 ⭐⭐ $\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧。计算 $\oiint_\Sigma \frac{x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。 > **提示**：原点处有奇点！$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r^3}) + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{r^3}) + \frac{\partial}{\partial z}(\frac{z}{r^3}) = 0$（$r\neq 0$）。挖去原点作小球面 $\Sigma_\varepsilon$，$\oiint_{\Sigma} = \oiint_{\Sigma_\varepsilon} = 4\pi$。 > **答案**：$4\pi$（就是 §10.5 例7 的电通量！）。 > C3 ⭐⭐⭐ 计算 $\iint_\Sigma xz\,dydz + yz\,dzdx + (x^2+y^2)\,dxdy$，$\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}\;(0\leq z\leq 1)$ 上侧。 > **提示**：补顶面 $z=1, x^2+y^2 \leq 1$ 取下侧。散度 $= z+z+0 = 2z$。$\iiint_\Omega 2z\,dV = \int_0^1 2z \cdot \pi z^2\,dz = \frac{\pi}{2}$。辅助面：$\iint_{\text{顶}} (x^2+y^2)\,dxdy$（其他两项正交为0）$= -\iint_D (x^2+y^2)dxdy = -\frac{\pi}{2}$。 > **答案**：$\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$。