Sec.10.3 格林公式（一）— 公式本身与计算技巧

🏔️ 直觉地图

格林公式 = 二维版的 N-L 公式

Newton-Leibniz	Green
区间 $[a,b]$ 上的积分 → 端点值	区域 $D$ 上的二重积分 → 边界线积分
${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$	${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{\partial D}Pdx+Qdy$
「内部」→「边界」	「内部」↔「边界」

🎯 为什么重要？ 原本 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy$ 需要沿着弯弯曲曲的曲线做线积分，格林公式把它变成 $D$ 上的二重积分——把”线上跑”变成”面上算”，通常大大简化。

一、知识整合

Sec.10.3.1 格林公式

引例：一个”噩梦级”的线积分

${\int }_L(x^2-y^3)dx+(y^2+x^3+y{e}^y)dy,L:\text{上半圆周 }y=\sqrt{4x-x^2}\text{, 从 }O(0,0)\text{ 到 }A(4,0)$

直接算？先写出 $y=\sqrt{4x-x^2}$，代入被积函数 → 积分号下是一个丑陋的表达式，几乎不可能手算。

格林公式说：别直接跑那条弯曲线，先加条辅助线围成闭区域，在区域内二重积分，再减去辅助线的贡献！

预备知识

单连通 vs 复连通：

类型	定义	例子
单连通	内任一闭曲线所围部分全在区域内	圆盘、上半平面
复连通	存在闭曲线围住区域外的点（有洞）	圆环 $1<x^2+y^2<4$

边界曲线的正向：沿 $L$ 行走时，区域 $D$ 始终在左手边。

• 外边界 → 逆时针
• 内边界（洞）→ 顺时针

🎯 格林公式

设 $D$ 由分段光滑闭曲线 $L$ 围成，$P,Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数：

$\boxed{{\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}$

⚠️ 记牢：先 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 再减 $\frac{\partial P}{\partial y}$，顺序不能反！

记忆口诀：Q对x求偏导，减去P对y求偏导（字母顺序 Qx − Py）

注意事项：

1. $L$ 取正向；若取负向，右边加负号
2. 格林公式有三个条件，缺一不可：$L$ 闭 + $P,Q$ 一阶连续偏导
3. $D$ 可以是单连通或复连通

格林公式的两种用法

方向	用途	策略
正向	计算闭曲线上的线积分	化为二重积分
逆向	计算区域上的二重积分（面积）	选 $P,Q$ 使 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$

🎯 三大计算策略

策略1：曲线不封闭 → 加辅助线

引例求解：

$P=x^2-y^3,Q=y^2+x^3+y{e}^y$

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3x^2-(-3y^2)=3(x^2+y^2)$

二重积分比线积分简单得多！

添加 $AO$（沿 $x$ 轴从 $(4,0)$ 到 $(0,0)$，即 $y=0$, $dy=0$, $x:4\to 0$）：

${\oint }_{L+A{O}^{-}}={\iint }_{D}3(x^2+y^2)dxdy$

曲线封闭！$L+A{O}^{-}$ 构成上半圆区域的边界（正向 = $L$ 从 $O\to A$ + $A{O}^{-}$ 从 $A\to O$，即下半边界从左到右……这里需要仔细分析方向）。

圆弧半径 $R=2$，上半圆区域 → 极坐标：

${\iint }_{D}3(x^2+y^2)dxdy=3{\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^2{r}^2\cdot rdr=3\cdot \pi \cdot \frac{16}{4}=12\pi$

但格林公式只能用于闭曲线 → 所以： ${\int }_L+{\int }_{A{O}^{-}}=12\pi$

其中 ${\int }_{A{O}^{-}}={\int }_4^0(x^2-0)dx=[\frac{x^3}{3}{]}_4^0=-\frac{64}{3}$

${\int }_L=12\pi -(-\frac{64}{3})=12\pi +\frac{64}{3}$

✅ 不用沿着弯曲线跑，用区域二重积分 + 直线段定积分，搞定！

策略2：区域内有奇点 → 积分路径特殊化（考研必考）

${\oint }_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2},L:|x|+|y|=2\text{（逆时针）}$

⚠️ $P=\frac{-y}{x^2+y^2}$, $Q=\frac{x}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处无定义！不能直接在 $L$ 围成的区域内用格林公式。

解决办法：在原区域内挖掉包含原点的小圆 $l:x^2+y^2=r^2$，则 $L$ 和 $l^{-}$（顺时针）构成复连通区域的边界。

在挖掉奇点后的环形区域上，$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$（自己验证！）：

$\boxed{{\oint }_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}={\oint }_l\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}}$

🔥 关键结论：积分值与 $L$ 的形状无关，只绕原点就行！把复杂的 $|x|+|y|=2$ 换成最简单的小圆 $x^2+y^2=r^2$。

代小圆：$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $\theta :0\to 2\pi$

$I={\oint }_l\frac{-ydx+xdy}{r^2}=\frac{1}{r^2}{\int }_0^{2\pi }[(-r\sin \theta )(-r\sin \theta )+(r\cos \theta )(r\cos \theta )]d\theta$ $=\frac{1}{r^2}{\int }_0^{2\pi }{r}^{2}d\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$

✅ 答案：$2\pi$

⚠️ 这个公式是考研常客：$\oint \frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$ 绕原点任意简单闭曲线 = $2\pi$。

策略3：奇点判断要分情况

${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2},L\text{ 为不过原点的分段光滑简单闭曲线}$

情况	结果	原因
原点在 $L$ 外	$0$	格林公式直接适用，区域上 $Q_x=P_y$
原点在 $L$ 内	$2\pi$	挖奇点 + 路径特殊化

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=k$（常数）的推广

若 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=k$（常数），如图 $L_1$ 和 $L_2$ 围成区域 $D$，则：

${\oint }_{L_1}Pdx+Qdy-{\oint }_{L_2}Pdx+Qdy={\iint }_{D}kdxdy=k\cdot S(D)$

即：两条闭曲线上的积分之差 = $k\times$ 夹在中间的环形面积。

格林公式使用要点总结

条件	策略
$L$ 闭 + $P,Q$ 连续偏导	✅ 直接套公式
$L$ 不封闭	➕ 加辅助线，算完再减掉辅助线贡献
区域内有奇点	🔪 挖奇点，积分路径特殊化为绕奇点的小圆
$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$ 但有奇点	路径特殊化后积分值 = 绕奇点的恒定值

🎯 手把手例题

例1：加辅助线 — 不封闭曲线

（即上述引例，核心步骤已详解）

例2：奇点处理 — 挖洞

题目：${\oint }_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$，$L:x^2+y^2=1$ 逆时针

①识别：奇点 $(0,0)$ 在圆内！不能直接格林。

②验证：$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$ → 相等

③路径特殊化：原圆就是最简单路径，直接参数化：

$x=\cos \theta$, $y=\sin \theta$, $\theta :0\to 2\pi$

$I={\int }_0^{2\pi }\frac{-\sin \theta \cdot (-\sin \theta )+\cos \theta \cdot \cos \theta }{1}d\theta ={\int }_0^{2\pi }1d\theta =2\pi$

✅ 答案：$2\pi$

例3：奇点在边界上 → 无定义

题目：${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$，$L:x^2+y^2=1$ 逆时针

⚠️ 曲线 $L$ 过奇点 $(0,0)$，积分无定义！（虽然 $L$ 是单位圆，但 $x^2+y^2=1$ 在整个圆上 $x^2+y^2\ne 0$……等等，$x^2+y^2=1$ 上不经过原点！）

修正：$x^2+y^2=1>0$ 不经过原点 → 正常计算，结果 $2\pi$。

真正无定义的是 $L$ 经过原点的曲线（如 $x^2+y^2=0$ 的单点退化）。

（PPT第17页的问题：$L:x^2+y^2=1$ 被积函数 $\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\frac{xdy-ydx}{1}$，分母是常数 1，无奇点问题！结果同上。）

📇 闪卡速记

格林公式？

${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

记忆口诀？

Q_x − P_y（Q对x偏导，减P对y偏导）

格林公式的三个条件？

①$L$闭 ②$P,Q$一阶连续偏导 ③$L$正向

单连通 vs 复连通？

单连通=无洞；复连通=有洞（如圆环）

边界正向的规定？

沿$L$行走，区域在左手边（外逆内顺）

曲线不封闭怎么办？

加辅助线围成闭区域，算完后再减去辅助线贡献

区域内有奇点？

挖掉奇点，积分路径特殊化为绕奇点的小圆

$\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$ 绕原点任意闭曲线？

$=2\pi$（考研高频结论）

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=k$（常数）？

两闭曲线积分之差 = $k\times$ 夹在中间的环形面积

不封闭曲线加辅助线，方向？

辅助线与原曲线方向配合，使整体构成正向边界

挖奇点时小圆的方向？

与外边界反向（外逆时针则小圆顺时针）

格林公式的反向用法？

选$P,Q$使$Q_x-P_y=1$ → 面积 = $\frac{1}{2}{\oint }_L-ydx+xdy$

🧪 自测题

A组：基础概念（10道）

**A1**（判断）格林公式将闭曲线上的线积分化为区域上的二重积分。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：正确

格林公式的核心作用：${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(Q_x-P_y)dxdy$，将闭曲线上的第二类线积分转化为区域 $D$ 上的二重积分，“把线上跑变成面上算”。

**A2**（填空）格林公式：∮ₗ P dx + Q dy = ∬_D (______) dxdy

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答案： $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$

记忆口诀：Q_x − P_y（Q对x求偏导，减去P对y求偏导），顺序不能反。

**A3**（判断）单连通区域内任一闭曲线所围部分都在该区域内。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：正确

这是单连通区域的定义：区域内任意一条简单闭曲线所围成的有界区域都完全包含在该区域内。例如圆盘、上半平面都是单连通区域。

**A4**（判断）复连通区域不能用格林公式。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：错误

复连通区域（有洞的区域）也能用格林公式！只需把内外边界都取正向（外逆时针、内顺时针），格林公式同样成立。

**A5**（选择）区域 D 的边界正向是：

A. 逆时针 B. 顺时针 C. 沿边界走时区域在左手边

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答案：C

边界正向规定：沿 $L$ 行走时，区域 $D$ 始终在左手边。A/B选项只说了方向，但不是正向的充要定义——内边界的正向反而是顺时针。

**A6**（判断）若 L 不封闭，可以直接用格林公式。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：错误

格林公式要求 $L$ 是闭曲线。若 $L$ 不封闭，必须先加辅助线使其封闭，再用格林公式，最后减去辅助线上的线积分贡献。

**A7**（选择）P(x,y) = −y/(x²+y²) 在 (0,0) 处：

A. 连续 B. 有定义 C. 无定义

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答案：C（无定义）

分母 $x^2+y^2$ 在 $(0,0)$ 处为 $0$，函数无定义。因此当积分区域包含原点时，不能直接使用格林公式，必须挖掉奇点。

**A8**（判断）当 ∂Q/∂x = ∂P/∂y 且区域内有奇点时，格林公式给出 ∮ = 0。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：错误

区域内存在奇点时，即使 $Q_x=P_y$，围道积分也不一定为零。例如 ${\oint }_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$ 绕原点 $=2\pi \ne 0$。需挖奇点 + 路径特殊化处理。

**A9**（选择）圆环 1 < x²+y² < 4 的边界正向：

A. 内外都是逆时针 B. 外逆内顺 C. 外顺内逆

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答案：B（外逆内顺）

圆环是复连通区域。正向规定：行走时区域在左手边 → 沿外边界走，区域在内侧（左手边）= 逆时针；沿内边界走，区域在外侧（左手边）= 顺时针。

**A10**（判断）格林公式是 Newton-Leibniz 公式在二维的推广。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：正确

N-L 公式 ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$ 将区间积分化为端点值；格林公式 ${\iint }_D(Q_x-P_y)dxdy={\oint }_{\partial D}Pdx+Qdy$ 将区域积分化为边界线积分。都是”内部↔边界”的关系，格林公式是 N-L 在二维的自然推广。

B组：基本计算（8道）

**B1** 用格林公式计算 ∮ₗ (x−y) dx + (x+y) dy，L 为 x² + y² = a² 逆时针。

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答案： $2\pi a^2$

$P=x-y$, $Q=x+y$, $Q_x-P_y=1-(-1)=2$。

${\oint }_L={\iint }_{D}2dxdy=2\cdot \pi a^2=2\pi a^2$。

**B2** 计算 ∫ₗ (x²−y) dx − (x+sin²y) dy，L 为 y = √(2x−x²) 从 (2,0) 到 (0,0)。

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答案： $-\frac{8}{3}$

$P=x^2-y$, $Q=-(x+{\sin }^{2}y)$, $Q_x-P_y=-1-(-1)=0$。

$L$ 是上半圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ ($y\ge 0$) 从 $(2,0)$ 到 $(0,0)$（顺时针=负向）。加 $AO$：沿 $x$ 轴从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$。$L+AO$ 构成顺时针闭曲线。

格林公式（取负号）：${\oint }_{C^{-}}=-{\iint }_{D}0dxdy=0$，即 ${\int }_L+{\int }_{AO}=0$。

${\int }_{AO}={\int }_0^2(x^2-0)dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^2=\frac{8}{3}$，故 ${\int }_L=-\frac{8}{3}$。

**B3** 计算 ∮ₗ xy² dy − x²y dx，L 为 x² + y² = a² 逆时针。

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答案： $\frac{\pi a^4}{2}$

$P=-x^{2}y$, $Q=x{y}^2$, $Q_x-P_y=y^2-(-x^2)=x^2+y^2$。

${\oint }_L={\iint }_D(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^2\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{a^4}{4}=\frac{\pi a^4}{2}$。

**B4** 计算 ∮_L (x dy − y dx)/(x²+y²)，L 为 (x−1)² + (y−1)² = 1 逆时针。

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答案： $0$（原点在圆外）

圆心 $(1,1)$，半径 $1$。原点 $(0,0)$ 到圆心距离 $\sqrt{2}\approx 1.414>1$，原点在圆外。

区域内 $P,Q$ 无奇点，且 $Q_x=P_y=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$，故 ${\oint }_L={\iint }_{D}0dxdy=0$。

**B5** 计算 ∮ₗ (eˣ sin y − 2y) dx + (eˣ cos y − 2) dy，L 为 x² + y² = 1 逆时针。

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答案： $2\pi$

$P=e^x\sin y-2y$, $Q=e^x\cos y-2$。

$Q_x=e^x\cos y$, $P_y=e^x\cos y-2$, $Q_x-P_y=2$。

${\oint }_L={\iint }_{D}2dxdy=2\cdot \pi \cdot 1^2=2\pi$。

**B6** 用格林公式求椭圆 x²/a² + y²/b² = 1 的面积。

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答案： $\pi ab$

格林公式逆向用法：选 $P=-\frac{y}{2}$, $Q=\frac{x}{2}$，则 $Q_x-P_y=1$。

面积 $S=\frac{1}{2}{\oint }_L-ydx+xdy$。令 $x=a\cos t$, $y=b\sin t$, $t:0\to 2\pi$：

$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }[(-b\sin t)(-a\sin t)+(a\cos t)(b\cos t)]dt=\frac{1}{2}ab\cdot 2\pi =\pi ab$。

**B7** 计算 ∮_L (−y dx + (x−1)dy)/((x−1)²+y²)，L: x² + y² = 4 逆时针。

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答案： $2\pi$（奇点 $(1,0)$ 在圆内）

令 $u=x-1$, $v=y$，积分变为 $\oint \frac{-vdu+udv}{u^2+v^2}$，是绕 $(1,0)$ 的标准形式。

$Q_u=P_v$，挖奇点后路径特殊化：直接绕 $(1,0)$ 的小圆计算，结果为 $2\pi$。

**B8** 判断 L: x² + y² = 1 逆时针，∮_L (x dy − y dx)/(x²+y²) = 2π 是否成立？为什么？

查看答案

答案：成立，$=2\pi$

$Q_x=P_y=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$，但奇点 $(0,0)$ 在圆内。挖奇点后路径特殊化，用原圆参数化：

$x=\cos \theta$, $y=\sin \theta$，分母 $=1$。

$I={\int }_0^{2\pi }\frac{\cos \theta \cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot (-\sin \theta )}{1}d\theta ={\int }_0^{2\pi }1d\theta =2\pi$。

C组：综合应用（3道）

⭐⭐

**C1** L 为不过原点的分段光滑简单闭曲线，讨论 ∮_L (x dy − y dx)/(x²+y²) 的取值。

查看答案

答案： 分两种情况：

• 原点在 $L$ 外：格林公式直接适用，$Q_x=P_y$，积分为 $0$。
• 原点在 $L$ 内：无法直接套格林公式。挖奇点 + 路径特殊化，结果为 $2\pi$。

（注：$\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ 和 $\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$ 绕原点结果相同，均 $=2\pi$。）

⭐⭐⭐

**C2** 设 L: |x| + |y| = 1 逆时针，P = −y/(x²+y²), Q = x/(x²+y²)，求 ∮ₗ P dx + Q dy。

查看答案

答案： $2\pi$

奇点 $(0,0)$ 在菱形内。$Q_x=P_y=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$。挖奇点后路径特殊化：将复杂菱形换为绕原点的小圆 $x^2+y^2=r^2$。

$I={\oint }_{小圆}\frac{-ydx+xdy}{r^2}=\frac{1}{r^2}{\int }_0^{2\pi }[(-r\sin \theta )(-r\sin \theta )+(r\cos \theta )(r\cos \theta )]d\theta =2\pi$。

关键技巧：不管 $L$ 形状多复杂，只要绕原点一圈，换小圆计算即可！

⭐⭐⭐

**C3** 设 L₁ 和 L₂ 是两条绕原点的简单闭曲线（L₁ 在 L₂ 外侧），且 ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 3，L₂ 围成的面积为 S。用格林公式计算 ∮_{L₁} P dx + Q dy − ∮_{L₂} P dx + Q dy。

查看答案

答案： $3\cdot S_{环}$，其中 $S_{环}$ 是两曲线之间的环形面积。

推理：$L_1$（正向）和 $L_2^{-}$（负向）构成复连通区域 $D$ 的边界。由格林公式：

${\oint }_{L_1}Pdx+Qdy+{\oint }_{L_2^{-}}Pdx+Qdy={\iint }_{D}3dxdy=3\cdot S(D)$

即 ${\oint }_{L_1}Pdx+Qdy-{\oint }_{L_2}Pdx+Qdy=3\cdot S_{环}$。