§6.3(2) 二阶常系数齐次线性微分方程

一、基本概念

二阶线性微分方程： $y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f (x)$

$f (x) \equiv 0$ 时：齐次

$f (x) \neq \equiv 0$ 时：非齐次

当 $P (x), Q (x)$ 为常数 $p, q$ 时，称为常系数方程： $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$

二、特征方程法

设 $y = e^{r x}$ 为尝试解（因为指数函数的导数与其自身只差常数因子），代入得 $r^{2} e^{r x} + p r e^{r x} + q e^{r x} = 0$ → 特征方程： $r^{2} + p r + q = 0$

结论： $r$ 是特征根 $⟺$ $y = e^{r x}$ 是方程的解。

三、通解公式（ $Δ = p^{2} - 4 q$ ）

判别式	特征根	通解
$Δ > 0$	两个不等实根 $r_{1} \neq = r_{2}$	$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$	重根 $r_{1} = r_{2} = - \frac{p}{2}$	$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{1} x}$
$Δ < 0$	共轭复根 $r = α \pm i β$	$y = e^{αx} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$

其中 $α = - \frac{p}{2}, β = \frac{4 q - p ^{2}}{2}$ 。

重根情况推导

特征方程有重根 $r_{1}$ 时，一个解为 $y_{1} = e^{r_{1} x}$ 。设另一解为 $y_{2} = u (x) e^{r_{1} x}$ ，代入原方程可得 $u^{''} = 0$ → $u = x$ ，故 $y_{2} = x e^{r_{1} x}$ 。

四、解题三步法

写特征方程： $r^{2} + p r + q = 0$
求两个特征根： $r_{1}, r_{2}$
根据 $Δ$ 选择通解公式

五、典型例题

例1： $y^{''} + a y = 0$ 的通解

$a$	通解
$a = 0$	$y = C_{1} + C_{2} x$
$a > 0$	$y = C_{1} cos a x + C_{2} sin a x$
$a < 0$	$y = C_{1} e^{- a x} + C_{2} e^{- - a x}$

例2：已知特解求方程

已知 $y = x e^{2 x}$ 为特解 → 特征方程有重根 $r = 2$ → $(r - 2)^{2} = 0$ → $r^{2} - 4 r + 4 = 0$ → 微分方程： $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ ，通解： $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x}$

关键公式汇总

特征根类型	通解形式	记忆技巧
两不等实根	$C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$	两个指数叠加
重根	$(C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$	指数×一次多项式
共轭复根	$e^{αx} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$	指数×振荡

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§6.3(2) 二阶常系数齐次线性微分方程

一、基本概念

二、特征方程法

三、通解公式（ $Δ = p^{2} - 4 q$ ）

重根情况推导

四、解题三步法

五、典型例题

例1： $y^{''} + a y = 0$ 的通解

例2：已知特解求方程

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§6.3(2) 二阶常系数齐次线性微分方程

一、基本概念

二、特征方程法

三、通解公式（Δ=p2−4q）

重根情况推导

四、解题三步法

五、典型例题

例1：y′′+ay=0 的通解

例2：已知特解求方程

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三、通解公式（ $Δ = p^{2} - 4 q$ ）

例1： $y^{''} + a y = 0$ 的通解