§4.3 几种特殊函数的积分

一、有理函数的积分

有理函数: $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{a_n{x}^n+\cdots +a_0}{b_m{x}^m+\cdots +b_0}$

• $n<m$：真分式
• $n\ge m$：假分式（通过多项式除法化为多项式 + 真分式）

四种最简真分式（典型部分分式）

真分式分解方法

由代数学基本定理，真分式均可分解为最简真分式之和。具体系数由以下方法确定：

方法1 — 待定系数法: 比较同次幂系数，列方程组求解。

方法2 — 公式法: 利用 ${\frac{P(x)}{Q(x)/(x-a)}|}_{x=a}$ 求系数。

方法3 — 赋值法: 代入特殊值（如 $x=0,\pm 1,\dots$）求解。

注意: 有理函数的积分理论上已完全解决，但不一定简便。要根据被积函数结构寻求简便方法。

典型例题

$\int \frac{x^4+1}{x^2+1}dx$：先拆分为 $\int (x^2-1+\frac{2}{x^2+1})dx$

$\int \frac{x^2}{(x^2+2x+2{)}^2}dx$：配方 $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$，再三角换元

二、三角函数有理式的积分

万能代换: 令 $t=\tan \frac{x}{2}$，则： $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}dt$

万能代换将三角函数有理式化为 $t$ 的有理函数积分，但有时会很繁。

优先考虑的简便方法

经典例题:

• $\int \frac{dx}{1+\sin x}$：用万能代换或分子分母同乘 $1-\sin x$ 化为 $\int ({\sec }^{2}x-\sec x\tan x)dx$
• $\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx=-\ln (1+\cos x)+C$（直接凑微分）

关键公式汇总