§4.2(1) 第一类换元法（凑微分法）

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核心定理

第一换元法: 设 $f (u)$ 有原函数， $u = φ (x)$ 可导，则： $\int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x = \int f [φ (x)] d φ (x) = \int f (u) d u_{u = φ (x)}$

难点: 如何将被积函数表达式「凑」为 $f [φ (x)] \cdot φ^{'} (x)$ 的形式。

积分表补充（凑微分推导）

序号	积分公式
(14)	$\int \tan x,dx = -\ln	\cos x	+ C = \ln	\sec x	+ C$
(15)	$\int \cot x,dx = \ln	\sin x	+ C = -\ln	\csc x	+ C$
(16)	$\int \sec x,dx = \ln	\sec x + \tan x	+ C$
(17)	$\int \csc x,dx = \ln	\csc x - \cot x	+ C$
(18)	$\int \frac{d x}{a ^{2} + x ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C (a > 0)$
(19)	$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left	\frac{x-a}{x+a}\right	+ C$
(20)	$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left	\frac{a+x}{a-x}\right	+ C$
(21)	$\int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{a} + C (a > 0)$

推导关键

$\int tan x d x = \int \frac{s i n x}{c o s x} d x = - \int \frac{d c o s x}{c o s x} = - ln ∣ cos x ∣ + C$
$\int \frac{d x}{a ^{2} + x ^{2}} = \frac{1}{a} \int \frac{d ( x / a )}{1 + ( x / a ) ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C$
$\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} \int (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}) d x$ （利用部分分式分解）

常见凑微分公式（必记）

类型	公式	凑微分形式
1	$\int f (a x + b) d x$	$\frac{1}{a} \int f (a x + b) d (a x + b)$
2	$\int f (x^{n}) x^{n - 1} d x$	$\frac{1}{n} \int f (x^{n}) d x^{n}$
3	$\int f (x^{n}) \frac{d x}{x}$	$\frac{1}{n} \int f (x^{n}) \frac{d x ^{n}}{x ^{n}}$
4	$\int f (sin x) cos x d x$	$\int f (sin x) d sin x$
5	$\int f (cos x) sin x d x$	$- \int f (cos x) d cos x$
6	$\int f (tan x) sec^{2} x d x$	$\int f (tan x) d tan x$
7	$\int f (e^{x}) e^{x} d x$	$\int f (e^{x}) d e^{x}$
8	$\int f (ln x) \frac{d x}{x}$	$\int f (ln x) d ln x$
9	$\int f (x) \frac{d x}{x}$	$2 \int f (x) d x$
10	$\int f (arctan x) \frac{d x}{1 + x ^{2}}$	$\int f (arctan x) d arctan x$
11	$\int f (x^{2} + 1) \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$	$\int f (x^{2} + 1) d x^{2} + 1$
12	$\int f (x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x ^{2}}) d x$	$\int f (x + \frac{1}{x}) d (x + \frac{1}{x})$
13	$\int f (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x ^{2}}) d x$	$\int f (x - \frac{1}{x}) d (x - \frac{1}{x})$
—	$\int f (\frac{1}{x}) \frac{d x}{x ^{2}}$	$- \int f (\frac{1}{x}) d \frac{1}{x}$
—	$\int f (x ln x) (1 + ln x) d x$	$\int f (x ln x) d (x ln x)$

三角函数积分的常见技巧

(1) 正余弦高次幂

$\int sin^{k} x cos^{n} x d x$

$k$ 奇： $sin x d x = - d cos x$ ，化为 $cos x$ 的积分
$n$ 奇： $cos x d x = d sin x$ ，化为 $sin x$ 的积分
$k, n$ 均偶：降幂公式 $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}$

(2) 正切/正割类

$\int tan^{n} x sec^{k} x d x$

$tan x d x = d ln ∣ sec x ∣$ ； $sec^{2} x d x = d tan x$
$sec x tan x d x = d sec x$

经典例题:

$\int sec^{6} x d x$ → 提取 $sec^{2} x = d tan x$
$\int \frac{d x}{1 + 2 s i n ^{2} x}$ → 分子分母同除 $cos^{2} x$ 化为 $tan x$
$\int \frac{d x}{s i n ^{2} x c o s ^{2} x} = \int (sec^{2} x + csc^{2} x) d x = tan x - cot x + C$

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DISCUSSION

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