§3.5 函数的渐近线和函数曲线

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一、函数的渐近线

1. 水平渐近线

若 $lim_{x \to \infty} f (x) = A$ （或 $x \to + \infty$ , $x \to - \infty$ ），则 $y = A$ 为水平渐近线。

2. 竖直渐近线（垂直渐近线）

若 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$ （或 $x \to x_{0}^{+}$ , $x \to x_{0}^{-}$ ），则 $x = x_{0}$ 为竖直渐近线。

3. 斜渐近线

若直线 $y = a x + b$ （ $a \neq = 0$ ）满足： $lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$

则 $y = a x + b$ 为斜渐近线。

求法: $a = lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x}, b = lim_{x \to \infty} [f (x) - a x]$

注: 在同一方向（ $x \to + \infty$ 或 $x \to - \infty$ ）上，水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。

例题:

$f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} - 1}$ → 有水平渐近线 $y = 1$ ，竖直 $x = 1$
$y = \frac{1}{x} + ln (1 + e^{x})$ → 有多条渐近线

参数方程曲线的渐近线

类型	条件	渐近线
水平	$lim_{t \to t_{0}} x (t) = \infty, lim_{t \to t_{0}} y (t) = A$	$y = A$
竖直	$lim_{t \to t_{0}} x (t) = x_{0}, lim_{t \to t_{0}} y (t) = \infty$	$x = x_{0}$
斜	$lim_{t \to t_{0}} x (t) = \infty, a = lim_{t \to t_{0}} \frac{y ( t )}{x ( t )}, b = lim_{t \to t_{0}} [y (t) - a x (t)]$	$y = a x + b$

笛卡尔叶形线: $x = \frac{3 t}{1 + t ^{3}}, y = \frac{3 t ^{2}}{1 + t ^{3}}$ ，有斜渐近线 $y = - x - \frac{1}{3}$

二、函数曲线的描绘

作图步骤

确定定义域，考察对称性及周期性
求 $f^{'} (x), f^{''} (x)$ ，并求出为 0 和不存在的点
列表讨论增减及凹凸区间
求渐近线
确定某些特殊点，描绘函数图形

三、常用极坐标曲线

极坐标系

${x = a + r cos θ y = b + r sin θ$

常见极坐标曲线

曲线	方程	特点
圆	$r = a, r = a cos θ, r = a sin θ$	$a > 0$
心形线	$r = a (1 + cos θ), r = a (1 - cos θ)$	心形
心形线	$r = a (1 + sin θ), r = a (1 - sin θ)$	旋转心形
三叶玫瑰线	$r = a sin 3 θ$	三叶
双纽线	$r^{2} = a^{2} sin 2 θ, r^{2} = a^{2} cos 2 θ$	伯努利双纽线

参数方程曲线

曲线	方程	特点
摆线	${x = r (t - sin t) y = r (1 - cos t)$	一拱
星形线	${x = a cos^{3} t y = a sin^{3} t$	$x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$
笛卡尔叶形线	$x^{3} + y^{3} = 3 a x y$	参数方程

关键公式汇总

渐近线类型	条件	方程
水平	$lim_{x \to \infty} f (x) = A$	$y = A$
竖直	$lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$	$x = x_{0}$
斜	$a = lim \frac{f ( x )}{x}, b = lim [f (x) - a x]$	$y = a x + b$

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DISCUSSION

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