§2.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数

隐函数

定义：若由方程 $F(x,y)=0$ 可确定 $y$ 是 $x$ 的函数，即对任意 $x$，有唯一 $y$ 与之对应，记为 $y=y(x)$，则称 $y$ 为由方程所确定的隐函数。

• 可显化：$2x-3y-1=0\Rightarrow y=\frac{2x-1}{3}$
• 不可显化：$e^y+xy+3x^4=1$

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隐函数求导法（⭐核心方法）

方程 $F(x,y)=0$ 两边同时对 $x$ 求导，因为 $y$ 是 $x$ 的函数（$y$ 为中间变量），使用复合函数求导法，最后解出 $\frac{dy}{dx}$。

例：由 $e^y+3y^4+x^3+1=0$ 求 $\frac{dy}{dx}$

两边对 $x$ 求导：$e^y\cdot y^{\prime }+12y^3\cdot y^{\prime }+3x^2=0$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2}{e^y+12y^3}$

隐函数求高阶导数（重要题型）

已知 $f$ 二阶可导，求 $y=f(x+y)$ 确定的隐函数的一阶和二阶导数。

解：$y^{\prime }=f^{\prime }(x+y)(1+y^{\prime })\Rightarrow y^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{1-f^{\prime }}$

$y^{\prime \prime }=\frac{f^{\prime \prime }(1+y^{\prime })}{(1-f^{\prime }{)}^2}=\frac{f^{\prime \prime }}{(1-f^{\prime }{)}^3}$

对二次曲线的切线方程

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程： $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

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对数求导法（隐函数求导的应用）

适用于 $y=x^x$（$x>0$）等幂指函数：

1. 两边取对数：$\ln y=x\ln x$
2. 两边求导：$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1$
3. $y^{\prime }=x^x(\ln x+1)$

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参数方程确定的函数的导数

若由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 可确定 $y$ 是 $x$ 的函数。

一阶导数

若 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则： $\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$

几何意义：曲线的切线斜率 $\tan \theta =\frac{dy/dt}{dx/dt}$

推导：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$

二阶导数（⭐）

导函数 $y^{\prime }$ 仍是以 $t$ 为参数的参数方程： $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y^{\prime }=\gamma (t)=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}\end{array}$

$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)}{[{\phi }^{\prime }(t){]}^3}$

典型例题：摆线

$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{a(1-\cos t{)}^2}$

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相关变化率

若变量 $x$ 与 $y$ 间存在某种关系（如参数方程），且都是可导函数，则变化率 $\frac{dy}{dt}$ 与 $\frac{dx}{dt}$ 间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

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重点总结