大学物理 第六章 静电场中的导体和电介质（完整版）

第六章 静电场中的导体和电介质（完整版）

📝 整合来源：郭华忠老师 PPT（62 页）+ 第五章衔接。本章是第五章导体的深化——从”导体内部 $E=0$“进到”为什么电荷那样分布”，从”电容存电”进到”介质里发生了什么”，最终用 $\vec{D}$ 矢量统一真空和介质中的高斯定理。

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🏔️ 直觉地图

导体 = 自由电子的海洋——稍有风吹草动（电场），电子立刻搬家，搬到内部完全平静为止。

电介质 = 一堆微型弹簧——每个分子在外电场下弹性地正负分离（极化），形成微小的电偶极子，所有微偶极子的集体效果就是极化强度 $\vec{P}$。

电位移 $\vec{D}$ = 只关心”自由的”电荷——$\vec{D}$ 的高斯定理只算自由电荷，不管极化电荷。就像查户口只查”外来人口”（自由电荷），不查”本地居民”（极化电荷）的内部流动。

能量密度 $w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$ = 电场存在的地方就有能量——真空也好、介质也好，公式形式完全一致，只是 ${\epsilon }_0$ 换成 $\epsilon$。总能量需要积分：$W={\int }_V{w}_{e}dV$。

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📖 阅读建议

阶段	内容	预计用时
一读	直觉地图 + §1（导体静电平衡深化）+ §2（电荷分布与屏蔽）	25 min
二读	§3（电容补充）+ §4~§5（极化与 $\vec{P}$）+ §6（$\vec{D}$ 与介质高斯定理）	50 min
三读	§7（电场能量）+ §8（闪卡）+ §9（自测）+ §10（常见错误）	40 min

⚠️ 如果你已经读过第五章的 §5~§7，本章 §1~§3 可以快速浏览，重点放在 §4~§7（这些都是第五章没展开的核心内容）。

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🔗 从第五章到第六章

第五章在真空里讲完了电场和电势，末尾简单提了”导体内部 $E=0$""电容 $C=Q/U$""电介质使电容增大”。这一章把这些”简单提了”的概念全部展开：

• 导体不只是内部 $E=0$——电荷怎么分布？空腔里有电荷怎么办？为什么尖端放电？
• 电容不只是 $C=Q/U$——圆柱形、球形怎么算？串并联的物理图像是什么？
• 电介质不只是”使电容变大”——极化的微观机制是什么？怎么定量描述？
• 全新概念：极化强度 $\vec{P}$、电位移 $\vec{D}$、介质中的高斯定理、电场能量密度。

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一、知识整合

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§1 导体的静电平衡——从现象到性质

1.1 导体与电介质的本质区别

	导体	电介质（绝缘体）
电荷状态	大量自由电子（导带电子）	束缚电荷（电子被原子核紧紧拉住）
电阻率	极低（$10^{-8}\sim 10^{-6}\Omega \cdot \text{m}$）	极高（$10^8\sim 10^{20}\Omega \cdot \text{m}$）
外电场中	静电感应 → 内部 $E=0$	极化 → 内部 $E\ne 0$（被削弱）
电场能否穿透	不能（平衡时）	能（被减弱）

1.2 静电感应——一步一步来

把一块导体放进外电场 ${\vec{E}}_0$，里面发生了什么？PPT 用了 13 页动画，核心过程只有三步：

1. 初始瞬间：导体内部自由电子在 ${\vec{E}}_0$ 作用下集体移动
2. 电荷分离：电子移动导致一端堆积负电荷、另一端因缺少电子带正电 → 产生反向感应电场 ${\vec{E}}^{\prime }$
3. 最终平衡：${\vec{E}}_{\text{内}}={\vec{E}}_0+{\vec{E}}^{\prime }=0$ → 电子停止宏观移动 → 静电平衡

弛豫时间极短：对铜，$\tau ={\epsilon }_0/{\sigma }_c\approx 1.5\times 10^{-19}\text{s}$——宏观上”瞬间”完成。

1.3 静电平衡性质（五大特征）——一个根原理推出全部

🔑 根原理：导体内部自由电子会重新分布，直到内部总场强 $\vec{E}=0$。

#	特征	从根原理如何推出
①	内部场强 $\vec{E}=0$	定义——若 $E\ne 0$，电子还会移动
②	导体是等势体	$E=0\Rightarrow \nabla V=0\Rightarrow V$ 为常数
③	表面是等势面，$\vec{E}\perp$ 表面	若 $E$ 有切向分量 → 电子沿表面移动 → 非平衡
④	表面附近 $E=\sigma /{\epsilon }_0$	高斯定理：取紧贴表面的扁平高斯面可证
⑤	净电荷仅分布在表面	若内部有净电荷 → 产生电场 → 电荷被赶出去

📌 第五章已经学过这五条。本章要做的是：从这五条出发，深入电荷在表面怎么分布。

✅ 本节检查：

• 静电感应过程的三步是什么？
• 五大特征之间是独立关系还是推导关系？

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§2 导体上的电荷分布——从”在表面”到”怎么分布”

2.1 实心导体

高斯定理一步到位：在导体内部取任意高斯面 → $\oint E\cdot dS=0=\sum q_i/{\epsilon }_0$ → 内部无净电荷 → 所有净电荷都在外表面。

2.2 空心导体——腔内无电荷

在导体内部（壳层中）取包围空腔的高斯面：

• 壳层中 $E=0$ → 通量为零 → 高斯面内净电荷为零
• 腔内无电荷 → 空腔内表面无净电荷
• 所有净电荷都在外表面

🎯 空心导体内部的空腔是完全”干净”的——没有任何电场。

2.3 空心导体——腔内有电荷 $q$

位置	电荷分布	原理
内表面	感应 $-q$	高斯定理：包住空腔的高斯面通量为零 → 面内净电荷为零
外表面	感应 $+q$	电荷守恒：导体原来不带电，内表面感应 $-q$，外表面必感应 $+q$

⚠️ 若导体接地：外表面 $+q$ 流入大地 → 外表面净电荷为零 → 电势 = 0

2.4 导体表面外侧场强

取紧贴表面的扁平圆柱高斯面（底面在导体内，顶面在导体外）：

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot \Delta S=\frac{\sigma \cdot \Delta S}{{\epsilon }_0}$

$\boxed{E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}}$

🔑 §5 辨析再确认：这是导体表面附近的场，不是无限大带电平面的 $\sigma /(2{\epsilon }_0)$。原因已在第五章 §5 用叠加原理解释过——导体内部其他电荷补齐了另一半。

2.5 电荷面密度与曲率的关系

定性规律：导体表面曲率越大的地方（越尖），电荷面密度 $\sigma$ 越大。

表面形状	曲率	$\sigma$
尖凸处	大（正曲率大）	最大
平坦处	小	中等
凹进处	负曲率	最小

⚠️ 这只是孤立导体在无其他带电体影响时的规律。周围有带电体时，电荷分布还受外界影响。

定量验证：两个半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$ 的导体球用导线连接（等势）：

$V_1=V_2\Rightarrow \frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_0{R}_1}=\frac{Q_2}{4\pi {\epsilon }_0{R}_2}$

${\sigma }_1=\frac{Q_1}{4\pi R_1^2}\propto \frac{1}{R_1},{\sigma }_2\propto \frac{1}{R_2}$

结论：小球表面 $\sigma$ 更大 → 曲率越大，$\sigma$ 越大。

2.6 尖端放电

尖端处曲率极大 → $\sigma$ 极大 → $E=\sigma /{\epsilon }_0$ 极强 → 电离周围空气分子 → 空气被击穿 → “尖端放电”

• 伴随现象：“电风”（离子流推动空气）、辉光
• 避雷针：利用尖端放电将雷电荷导入大地，保护建筑

✅ 本节检查：

• 空心导体腔内放 $+q$，内表面、外表面各带什么电荷？为什么？
• 接地和未接地的区别是什么？
• 为什么小球比大球电荷密度大？（等势条件推导）

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§3 静电屏蔽——导体的”保护罩”功能

3.1 两类屏蔽

类型	条件	效果
外屏蔽	封闭导体壳（接地与否均可）	壳内电场不受外部电场影响
内屏蔽	封闭导体壳必须接地	壳外电场不受内部电荷影响

3.2 物理原理

• 外屏蔽：外部电场 → 壳外表面感应电荷 → 内部 $E=0$
• 内屏蔽（未接地）：内部电荷 → 内表面感应等量异号电荷 → 外表面感应同号电荷 → 外部仍有电场
• 内屏蔽（接地）：外表面感应电荷流入大地 → 外部电场消失

3.3 实际应用

应用	原理
屏蔽室（EMC 测试）	外屏蔽：隔绝外界电磁干扰
屏蔽线/屏蔽罩	外屏蔽：保护信号线不受干扰
高压均压服	使人体表面成为等势体
变压器屏蔽层	减小漏磁和干扰

✅ 本节检查：

• 为什么内屏蔽必须接地？
• 汽车被雷击中，车内的人安全吗？用屏蔽原理解释。

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§4 电容与电容器——补充

📌 第五章 §6 已经介绍了基本概念。本节补充圆柱形/球形电容器的完整推导和一道新例题。

4.1 三类电容器公式回顾

类型	公式	推导要点
平行板	$C=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}$	$E=\sigma /{\epsilon }_0$，$U=Ed$
圆柱形	$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}L}{\ln (R_2/R_1)}$	$E=\lambda /(2\pi {\epsilon }_{0}r)$，$U={\int }_{R_1}^{R_2}Edr$
球形	$C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$	$E=Q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$，积分求 $U$

电容串并联速查：

	串联	并联
公式	$\frac{1}{C}=\sum \frac{1}{C_i}$	$C=\sum C_i$
不变量	$Q$ 相同	$U$ 相同
总电容	小于最小者	大于最大者

4.2 例题：平行无限长直导线间的电容

两平行无限长直导线（半径 $a$，间距 $d\gg a$），求单位长度的电容。

解：设两导线带 $\pm \lambda$ 线密度。

两导线间距离 $x$ 处的电场（导线一贡献 + 导线二贡献）：

$E(x)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}x}+\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0(d-x)}$

电势差：

$U={\int }_a^{d-a}E(x)dx=\frac{\lambda }{\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{d}{a}$

$\boxed{C=\frac{\lambda }{U}=\frac{\pi {\epsilon }_0}{\ln (d/a)}}$（单位长度）

✅ 本节检查：

• 电容计算的通用四步法是什么？
• 为什么电容器串联总电容变小？

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§5 电介质的极化——从微观到宏观 🔥

📌 全新内容——第五章只简单提了一句”电介质使电容变大”，这里展开微观机制。

5.1 两类电介质分子

类型	特征	例子	无外场时
无极分子	正负电荷中心重合	${\text{H}}_2,{\text{N}}_2,{\text{CH}}_4$	无固有电偶极矩
有极分子	正负电荷中心不重合	${\text{H}}_2\text{O},{\text{NH}}_3,\text{HCl}$	有固有电偶极矩，随机取向

🧊 水分子 ${\text{H}}_2\text{O}$ 是典型的有极分子——O 端略带负电、H 端略带正电，天生就是一个微观电偶极子。微波炉加热就是利用交变电场反复翻转水分子→分子摩擦生热。

5.2 两种极化机制

（1）位移极化（无极分子）

外电场 $\vec{E}$ 下，正负电荷中心被拉开 → 产生感生电偶极矩 $\vec{p}=q\vec{l}$（$\vec{l}$ 沿电场方向）。

• 均匀介质：只在表面出现极化电荷（内部正负相消）
• 非均匀介质：表面和内部都可能出现极化电荷

（2）取向极化（有极分子）

分子有固有电偶极矩，无外场时取向随机 → 宏观抵消。外电场下各分子电偶极矩趋于沿电场方向排列。

• 热运动使排列不完全；温度越高，取向极化越困难
• 实际极性介质中，两种极化同时存在

🎯 直觉类比：位移极化 = 橡皮泥被拉长（变形）；取向极化 = 指南针在外磁场下排队（转向）。

5.3 极化强度 $\vec{P}$

定义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和

$\boxed{\vec{P}=\frac{\sum {\vec{p}}_i}{\Delta V}}$

单位：${\text{C/m}}^2$

情况	$\vec{P}$ 的取值
真空	$\vec{P}=0$（没有分子）
导体	$\vec{P}=0$（自由电子宏观移动，不是极化）
未极化的介质	$\vec{P}=0$（排列混乱）
极化越强	$\Vert \vec{P}\Vert$ 越大（排列越整齐）

5.4 极化电荷与 $\vec{P}$ 的关系

🔑 核心关系：均匀极化介质表面的极化电荷面密度 = 极化强度在表面外法线方向的分量。

$\boxed{{\sigma }^{\prime }=\vec{P}\cdot \hat{n}=P_n}$

• $\hat{n}=$ 介质表面的外法线方向
• $\vec{P}$ 与 $\hat{n}$ 夹角为锐角 → ${\sigma }^{\prime }>0$（正极化电荷）
• $\vec{P}$ 与 $\hat{n}$ 夹角为钝角 → ${\sigma }^{\prime }<0$（负极化电荷）

📐 这个公式只适用于各向同性均匀介质的均匀极化。

✅ 本节检查：

• 位移极化和取向极化的本质区别是什么？
• 极化强度 $\vec{P}$ 的定义和单位是什么？
• ${\sigma }^{\prime }=P_n$ 中，${\sigma }^{\prime }$ 是自由电荷还是束缚电荷？

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§6 电位移 $\vec{D}$ 与电介质中的高斯定理 🔥（本章核心）

这是本章最重要的概念——用 $\vec{D}$ 统一真空和介质中的高斯定理，让介质中的计算和真空中一样简单。

6.1 问题的提出

真空中：$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q_{\text{自由}}}{{\epsilon }_0}$

有介质时，高斯面内还有极化电荷 $q^{\prime }$：

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\left(\sum q_{\text{自由}}+\sum q^{\prime }\right)$

但 $q^{\prime }$ 不容易直接知道——它取决于材料、形状、电场分布。能不能只算自由电荷？

6.2 $\vec{D}$ 的引入

利用 ${\sigma }^{\prime }=P_n$，可证明：$\oint \vec{P}\cdot d\vec{S}=-\sum q^{\prime }$

代入高斯定理，把 $\vec{P}$ 项移到左边：

$\oint ({\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P})\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$

定义电位移矢量：

$\boxed{\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}}$

6.3 电介质中的高斯定理

$\boxed{{\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum _{\text{内}}{q}_{\text{自由}}}$

🔑 关键突破：$\vec{D}$ 的高斯定理不包含极化电荷！极化电荷的影响已经”打包”进 $\vec{D}$ 的定义里了。

物理量	高斯定理	对什么电荷响应
$\vec{E}$	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=(\sum q_{\text{自由}}+\sum q^{\prime })/{\epsilon }_0$	所有电荷
$\vec{D}$	$\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$	仅自由电荷

6.4 各向同性线性介质中的简化

对各向同性线性介质：

$\vec{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}$

其中 ${\chi }_e$ = 电极化率（无量纲）。

代入 $\vec{D}$ 的定义：

$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+{\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)\vec{E}$

定义 相对介电常数：${\epsilon }_r=1+{\chi }_e$

定义 介电常数：$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$

$\boxed{\vec{D}=\epsilon \vec{E}}$

📊 统一形式：真空中 $\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}$，介质中 $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$。只需换一个常数！

6.5 有介质时的解题策略

1. 对称性 + $\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$ → 求 $\vec{D}$
2. $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ → 求 $\vec{E}$
3. $\vec{E}=-\nabla V$ 或 $U=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$ → 求电势差
4. $C=Q/U$ → 求电容

🎯 和真空中的解题策略完全一样，只是步骤 1 用 $\vec{D}$ 代替 $\vec{E}$，步骤 2 用 $\epsilon$ 代替 ${\epsilon }_0$。

6.6 介质中的三类电容器

电容器	真空 $C_0$	充满介质 $C={\epsilon }_r{C}_0$
平行板	$\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}$	$\frac{\epsilon A}{d}$
圆柱形	$\frac{2\pi {\epsilon }_{0}L}{\ln (R_2/R_1)}$	$\frac{2\pi \epsilon L}{\ln (R_2/R_1)}$
球形	$\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$	$\frac{4\pi \epsilon R_1{R}_2}{R_2-R_1}$

🔑 统一规律：只需将真空中所有 ${\epsilon }_0$ 换成 $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$。

6.7 例题：平行板电容器插入铜板

平行板电容器（面积 $S$，间距 $d$），中间插入厚度为 $t$ 的铜板。求电容。

解：铜板是导体（内部 $E=0$），有效间距 = $d-t$

$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d-t}$

💡 插入铜板 = 把间距”缩短”了 $t$。$t$ 越大 → $C$ 越大。

✅ 本节检查：

• $\vec{D}$ 的定义和物理意义是什么？
• $\vec{D}$ 和 $\vec{E}$ 的高斯定理各计算什么电荷？
• 有介质时解题四步法是什么？
• ${\epsilon }_r$、${\chi }_e$、$\epsilon$ 三者关系？

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§7 电场的能量——能量储存在哪里？

7.1 电容器的储能

$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU$（第五章 §6 已推导）

7.2 电场能量密度

对平行板电容器：$U=Ed$，$C=\epsilon A/d$

$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\epsilon A}{d}\cdot (Ed{)}^2=\frac{1}{2}\epsilon E^2\cdot (Ad)=\frac{1}{2}\epsilon E^2\cdot V$

$\boxed{w_e=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\epsilon E^2}$

🎯 核心洞察：能量储存在电场本身中。真空 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$，介质 $\frac{1}{2}\epsilon E^2$——形式完全一致。

7.3 任意电场中的总能量

对非均匀电场，积分求总能量：

$\boxed{W={\int }_V\frac{1}{2}\epsilon E^{2}dV}$

7.4 例题：球形电容器的储能

球形电容器（内半径 $R_A$，外半径 $R_B$，带电荷 $\pm Q$），求储存的能量。

解：球壳间电场 $E=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$（$R_A<r<R_B$）

取薄球壳体积元 $dV=4\pi r^{2}dr$

$W={\int }_{R_A}^{R_B}\frac{1}{2}\epsilon E^2\cdot 4\pi r^{2}dr={\int }_{R_A}^{R_B}\frac{1}{2}\epsilon \cdot \frac{Q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }^2{r}^4}\cdot 4\pi r^{2}dr$

$=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon }{\int }_{R_A}^{R_B}\frac{dr}{r^2}=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon }\left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B}\right)$

验证：由 $C=\frac{4\pi \epsilon R_A{R}_B}{R_B-R_A}$，$W=\frac{Q^2}{2C}$ 得同样结果 ✓

💡 课堂讨论：比较均匀带电球面和均匀带电球体储存的能量——球体内部也有电场，所以能量更大。

✅ 本节检查：

• 电场能量密度公式是什么？真空中和介质中有何不同？
• 为什么说”能量储存在电场中”而不是”储存在电荷上”？

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📇 综合闪卡（25 条）

遮住右边，看左边回忆。

#	问题	答案
1	导体静电平衡五大特征之间的逻辑关系？	都是”内部 $E=0$“的推论：① → ② → ③ → ④ → ⑤
2	空心导体腔内放 $+q$，内表面和外表面各带什么？	内表面 $-q$（高斯定理），外表面 $+q$（电荷守恒）
3	接地后外表面还带电荷吗？	不带！外表面电荷流入大地 → $V=0$
4	为什么小球 $\sigma$ 比大球大？	等势条件下用导线连接：$V$ 相等 → $Q/R$ 相等 → $\sigma \propto 1/R$
5	尖端放电的物理机制？	尖端曲率大 → $\sigma$ 大 → $E$ 强 → 电离空气 → 放电
6	外屏蔽和内屏蔽各需什么条件？	外屏蔽：闭合导体壳即可；内屏蔽：必须接地
7	三类电容器的电容公式？	平行板 $\epsilon A/d$；圆柱 $2\pi \epsilon L/\ln (R_2/R_1)$；球形 $4\pi \epsilon R_1{R}_2/(R_2-R_1)$
8	电容串并联不变量各是什么？	串联 $Q$ 相同；并联 $U$ 相同
9	电容串并联公式与电阻的关系？	恰好相反！
10	无极分子和有极分子极化机制的区别？	无极→位移极化（正负电荷中心被拉开）；有极→取向极化（固有偶极子转向）
11	均匀极化介质表面极化电荷密度公式？	${\sigma }^{\prime }=\vec{P}\cdot \hat{n}=P_n$
12	$\vec{P}$ 的定义？单位？	$\vec{P}=\sum {\vec{p}}_i/\Delta V$，单位 ${\text{C/m}}^2$
13	真空中和导体中 $\vec{P}$ 各是多少？	都为零（无分子极化 / 自由电子宏观移动非极化）
14	$\vec{D}$ 的定义式？	$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$
15	$\vec{D}$ 的高斯定理？求和对象是哪些电荷？	$\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$，只算自由电荷
16	$\vec{E}$ 的高斯定理在介质中算什么电荷？	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=(\sum q_{\text{自由}}+\sum q^{\prime })/{\epsilon }_0$，算所有电荷
17	各向同性线性介质中 $\vec{D}$ 和 $\vec{E}$ 的关系？	$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$，其中 $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$
18	${\epsilon }_r$ 和 ${\chi }_e$ 的关系？	${\epsilon }_r=1+{\chi }_e$
19	有介质时解题四步法？	①求 $\vec{D}$（高斯定理）→ ②求 $\vec{E}=\vec{D}/\epsilon$ → ③积分 $U$ → ④$C=Q/U$
20	电场能量密度公式？真空中和介质中？	$w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$：真空中 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$，介质中 $\frac{1}{2}\epsilon E^2$
21	电容器的三个等效储能公式？	$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}{Q}^2/C=\frac{1}{2}QU$
22	平行板电容器插入铜板，间距 $d$、铜板厚 $t$，$C$ = ?	$C={\epsilon }_{0}S/(d-t)$（铜板内部 $E=0$，有效间距缩短）
23	无限长直导线间单位长度电容？	$C=\pi {\epsilon }_0/\ln (d/a)$（$d\gg a$ 时）
24	充满介质后电容变为真空的几倍？	${\epsilon }_r$ 倍：$C={\epsilon }_r{C}_0$
25	为什么介质中的高斯定理能”无视”极化电荷？	极化电荷的贡献已包含在 $\vec{D}$ 的定义中 → $\vec{D}$ 的散度只取决于自由电荷

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🧪 综合自测

🟢 A 组 — 概念判断（10 题）

A1. 导体处于静电平衡时，内部场强为零，所以内部任意点电势也为零。

A2. 空心导体球壳内表面没有净电荷，这个结论无论腔内是否有带电体都成立。

A3. 用导线连接两个半径不同的导体球后，它们带电量相等。

A4. 导体表面曲率最大的地方，电荷面密度一定最大。

A5. 封闭导体壳接地后，外部电场完全不受内部电荷影响。

A6. 电介质的极化强度 $\vec{P}$ 描述的是单位体积内的自由电荷量。

A7. 电位移 $\vec{D}$ 的高斯定理在真空中和在介质中形式相同。

A8. 在各向同性线性介质中，$\vec{D}$ 和 $\vec{E}$ 的方向总是相同。

A9. 电场能量密度 $w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$ 只适用于平行板电容器。

A10. 电容器储能 $W=\frac{1}{2}C{U}^2$ 表示充电过程中电源做功全部转化为电场能。

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🟡 B 组 — 基本计算（6 题）

B1. 半径 $R=0.10\text{m}$ 的孤立导体球带电荷 $Q=2.0\mu \text{C}$，求其电势和电容。

答案

$V=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}=9\times 10^9\times \frac{2\times 10^{-6}}{0.10}=1.8\times 10^5\text{V}$

$C=4\pi {\epsilon }_{0}R=\frac{0.10}{9\times 10^9}=1.11\times 10^{-11}\text{F}=11.1\text{pF}$

B2. 空心导体球壳（内半径 $R_1=0.05\text{m}$，外半径 $R_2=0.08\text{m}$），腔内中心放 $q=+3.0\mu \text{C}$ 点电荷。(1) 内表面和外表面各带多少电荷？(2) 球壳电势是多少？

答案

(1) 内表面 = $-3.0\mu \text{C}$，外表面 = $+3.0\mu \text{C}$

(2) 球壳电势 = 外表面 $+3.0\mu \text{C}$ 的贡献：

$V=\frac{3.0\times 10^{-6}}{4\pi {\epsilon }_0\times 0.08}=9\times 10^9\times \frac{3\times 10^{-6}}{0.08}=3.375\times 10^5\text{V}$

（腔内电荷和外表面电荷对球壳电势的贡献恰好抵消——内表面 $-q$ 在球壳处电势 + 腔内 $+q$ 在球壳处电势 = 0）

B3. 平行板电容器面积 $S=200{\text{cm}}^2$，间距 $d=2.0\text{mm}$，中间充满 ${\epsilon }_r=5.0$ 的电介质。求电容。

答案

$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 5.0\times 200\times 10^{-4}}{2.0\times 10^{-3}}=4.425\times 10^{-10}\text{F}\approx 443\text{pF}$

B4. 圆柱形电容器（内半径 $R_1=1.0\text{cm}$，外半径 $R_2=3.0\text{cm}$，长度 $L=20\text{cm}$），充满 ${\epsilon }_r=2.5$ 的介质。求电容。

答案

$C=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}L}{\ln (R_2/R_1)}=\frac{2\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 2.5\times 0.20}{\ln (3)}$

$=\frac{2.78\times 10^{-11}}{1.099}=2.53\times 10^{-11}\text{F}\approx 25.3\text{pF}$

B5. 平行板电容器（$C=10\mu \text{F}$）充电至 $U=100\text{V}$。求储存的能量。若在两板间充满 ${\epsilon }_r=4$ 的介质（保持电压不变），能量变为多少？

答案

初始：$W_1=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 10^4=0.05\text{J}$

插入介质后：$C^{\prime }={\epsilon }_{r}C=40\mu \text{F}$

$W_2=\frac{1}{2}{C}^{\prime }{U}^2=\frac{1}{2}\times 40\times 10^{-6}\times 10^4=0.20\text{J}$

能量增大 4 倍——因为电源对电容器额外充了电。

B6. 球形电容器（$R_A=2.0\text{cm}$，$R_B=5.0\text{cm}$，介质 ${\epsilon }_r=3.0$）充电至 $U=1000\text{V}$。求：(1) 电容；(2) 储存的能量。

答案

(1) $C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{R}_A{R}_B}{R_B-R_A}=\frac{4\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 3.0\times 0.02\times 0.05}{0.03}$

$=\frac{3.34\times 10^{-13}}{0.03}=1.11\times 10^{-11}\text{F}\approx 11.1\text{pF}$

(2) $W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\times 1.11\times 10^{-11}\times 10^6=5.55\times 10^{-6}\text{J}$

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🔴 C 组 — 综合应用（4 题）

C1. 两块平行放置的导体大平板，面积均为 $S$，间距 $d$（$d\ll \sqrt{S}$）。两板分别带电荷 $Q_1$ 和 $Q_2$（非等量异号）。求四个表面的电荷面密度 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$。

💡 提示：四个未知数，四个方程——①电荷守恒 × 2；②导体内部 $E=0$ × 2（对两块板内部各写一个条件）。结果是： ${\sigma }_1={\sigma }_4=\frac{Q_1+Q_2}{2S},{\sigma }_2=-{\sigma }_3=\frac{Q_1-Q_2}{2S}$

C2. ⭐挑战题 半径为 $R$ 的导体球带电荷 $Q$，球外罩一个内半径为 $2R$、外半径为 $3R$ 的同心导体球壳（不带电）。求各区域的电场和电势分布。

💡 提示：四个区域：① $r<R$（球内 $E=0$）② $R<r<2R$ ③ $2R<r<3R$（壳内 $E=0$）④ $r>3R$。利用高斯定理逐区域求 $E$，然后从无穷远积分求 $V$。

C3. ⭐挑战题 平行板电容器（面积 $S$，间距 $d$）中插入厚度为 $t$、相对介电常数为 ${\epsilon }_r$ 的电介质板（与极板平行）。保持极板间电压 $U$ 不变，求：(1) 插入前后的电场强度分布；(2) 电容；(3) 极板上的自由电荷面密度。

💡 提示：电介质内部 $E_{\text{介质}}=E_0/{\epsilon }_r$（$E_0$ 为空气间隙中的场强）。有 $U=E_0(d-t)+(E_0/{\epsilon }_r)t$，解出 $E_0$ 后求 $D={\epsilon }_0{E}_0$。

C4. 利用 $\vec{D}$ 的高斯定理和 $\vec{E}=-\nabla V$，推导有介质时的泊松方程 ${\nabla }^{2}V=-{\rho }_{\text{自由}}/\epsilon$（均匀线性介质中）。

💡 提示：$\vec{D}=\epsilon \vec{E}=-\epsilon \nabla V$，代入 $\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$ 或 $\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{\text{自由}}$，得 $-\epsilon {\nabla }^{2}V={\rho }_{\text{自由}}$。比第五章 C5 的真空泊松方程只多了 ${\epsilon }_0\to \epsilon$ 的替换。

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⚠️ 常见错误 Top 10

#	错误	正确理解
1	导体内部 $E=0$ 意味着内部没有电荷	有正负电荷（原子核+电子），但无净电荷（代数和为零）
2	空心导体腔内放 $+q$，外表面不带电	外表面必感应 $+q$（电荷守恒），除非接地
3	导体球用导线连接后带电量相等	连接后电势相等，而非电量相等——小球的 $\sigma$ 更大
4	曲率越大 $\sigma$ 越大是绝对规律	仅对孤立导体成立！周围有其他带电体时，分布受外界影响
5	封闭导体壳就能完全屏蔽内部电场	内屏蔽必须接地，否则外表面感应电荷会在外部产生电场
6	$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$ 只在介质中有定义	普遍成立！在真空中 $\vec{P}=0$，退化为 $\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}$
7	$\vec{D}$ 的高斯定理也包含极化电荷	$\vec{D}$ 的高斯定理只包含自由电荷——极化电荷已被”打包”进 $\vec{D}$
8	$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ 对所有介质都成立	只对各向同性线性介质成立！非线性或有各向异性的介质不适用
9	$w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$ 只适用于电容器	是普适公式——用于任意静电场，积分可得总能量
10	电容器的串并联公式和电阻的串并联公式相同	恰好相反！ 电容串联加倒数，电阻串联加本身

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📋 公式速查

导体静电平衡

公式	含义
${\vec{E}}_{\text{内}}=0$	导体内部场强为零
$V=\text{const}$	导体是等势体
$\vec{E}\perp \text{表面}$	表面电场垂直于表面
$E_{\text{表面}}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$	表面附近场强（导体外侧）

电容

公式	含义
$C=\frac{Q}{U}$	电容定义
$C=\frac{\epsilon A}{d}$	平行板电容器
$C=\frac{2\pi \epsilon L}{\ln (R_2/R_1)}$	圆柱形电容器
$C=\frac{4\pi \epsilon R_1{R}_2}{R_2-R_1}$	球形电容器
$\frac{1}{C_{\text{串}}}=\sum \frac{1}{C_i}$	串联
$C_{\text{并}}=\sum C_i$	并联

电介质极化

公式	含义
$\vec{P}=\frac{\sum {\vec{p}}_i}{\Delta V}$	极化强度定义
${\sigma }^{\prime }=\vec{P}\cdot \hat{n}=P_n$	极化电荷面密度
$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$	电位移定义
$\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$	介质中的高斯定理
$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$	各向同性线性介质中的本构关系
$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$	介电常数
${\epsilon }_r=1+{\chi }_e$	相对介电常数与极化率

电场能量

公式	含义
$W=\frac{1}{2}C{U}^2$	电容器储能
$w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$	电场能量密度（普适）
$W={\int }_V\frac{1}{2}\epsilon E^{2}dV$	任意电场总能量

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📚 信息来源：郭华忠老师课件（2026 年春学期，62 页 PPT）

📝 整理日期：2026-06-18（从 PPT 翻新为完整版格式）

🔗 本章与第五章 §5~§7 有部分重叠——第五章为基础介绍，本章为定量深化。建议先读完第五章再读本章，§1~§3 可快速浏览，重点放在 §4~§7。