大学物理 第七章 恒定电流与恒定磁场（完整版）

第七章 恒定电流与恒定磁场（完整版）

📝 整合来源：郭华忠老师第七章课件（§7.1–§7.8），涵盖恒定电流、磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、高斯定理、安培环路定理、洛伦兹力、安培力、磁介质。

本章是电磁学从”静”到”动”的转折点——前两章研究静止电荷产生的静电场，本章研究运动电荷（恒定电流） 产生的恒定磁场。

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🏔️ 直觉地图

磁场线 = 闭合水流，安培环路 = 绕广场走一圈，洛伦兹力 = 侧风推人。

这一章的核心图像可以这样理解：

• 电流是”河流”——电荷往前走，周围就产生磁场。水流越快、水越多，周围的漩涡越强。电流密度 $\vec{J}$ 就是”水流密度”。
• 电源电动势是”水泵”——把水从低处抽到高处。外电路电荷从高电势滚到低电势（水往低处流），内电路中水泵（非静电力）把电荷从低电势推回高电势。
• 磁感应线是闭合的环，没有起点也没有终点——像漩涡，不像电场线有头有尾（正电荷发出、负电荷汇聚）。磁场是无源场（高斯定理 = 0），电场是有源场。
• 毕奥-萨伐尔定律是磁学的”库仑定律”——每个电流元都是一小段”发条”，在周围空间拧出磁场。所有电流元的磁场叠加起来就是总场。
• 安培环路定理：绕闭合环路走一圈，磁场沿环路做的”功”（环流）等于环路内穿过的总电流乘 ${\mu }_0$。类比：绕广场走一圈，你感受到的风的总推动力 = 广场里有多少人在跑（电流）——外面跑的人也会吹风到你身上，但他们每圈进出的推动作用互相抵消。
• 洛伦兹力：带电粒子在磁场中运动，受到一个垂直于速度和磁场的力。像侧风推人——不让你加速也不让你减速（不做功），只让你拐弯。
• 安培力：载流导线在磁场中受力——本质是导线里每个运动的电荷都受洛伦兹力，加起来就是整根导线的受力。

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📖 阅读建议

阶段	内容	预计用时
一读	§7.1 恒定电流 → §7.2 磁场与磁感应强度 → §7.3 毕奥-萨伐尔定律（含四个应用）	60 min
二读	§7.4 磁场高斯定理 → §7.5 安培环路定理（核心！含三个应用）→ 对比电场高斯定理	45 min
三读	§7.6 洛伦兹力与带电粒子运动 → §7.7 安培力与磁力矩 → §7.8 磁介质 → 闪卡自测	45 min

⚠️ 本章有两个”核心”：毕奥-萨伐尔定律（微元积分法，计算任意电流分布的磁场）和安培环路定理（对称性简化法，类比电场的高斯定理）。两个都要熟练掌握——一个不能替代另一个。

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🔗 从静电到磁场——运动电荷打开新世界

第五章和第六章研究的是静止电荷产生的静电场：库仑定律、高斯定理、电势……一切都是从”电荷不动”出发的。

这一章，电荷动起来了——恒定电流（电荷的恒定流动）产生了磁场。从此，电和磁不再孤立：运动电荷是磁场的源，电流元相当于磁学中的”点电荷”。

你会发现惊人的对称性：毕奥-萨伐尔定律 ↔ 库仑定律（都是 $1/r^2$ 衰减）；安培环路定理 ↔ 高斯定理（都用对称性简化计算）；磁场高斯定理 = 0 ↔ 电场高斯定理 $\ne$ 0（有源 vs 无源）。但不对称的地方同样重要：电力线有头有尾，磁感应线永远是闭合的——这决定了两个场的本质区别。

好消息：研究磁场的方法和研究静电场的方法高度平行。你学过的叠加原理、对称性分析、极限检验……全部可以直接搬过来用。

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一、知识整合

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§7.1 恒定电流——磁场的”发动机”

为什么先学电流？

磁场由运动的电荷产生。没有电流就没有（恒定）磁场。这一节建立描述电流的语言，为后续所有磁场计算打好基础。

电流与电流密度

电流强度（标量）：

$\boxed{I=\frac{dq}{dt}}$

恒定电流：$I=\text{恒量}$（单位时间内通过导体截面的电荷量恒定）。

但 $I$ 只能描述总流量，无法描述电流在截面上的分布。引如电流密度矢量 $\vec{J}$：

$\boxed{\vec{J}=nq{\vec{v}}_d}$

符号	含义	单位
$n$	载流子浓度（单位体积载流子数）	${\text{m}}^{-3}$
$q$	每个载流子的电荷量	C
${\vec{v}}_d$	漂移速度（载流子定向运动的平均速度）	m/s

$\vec{J}$ 的方向 = 正电荷运动方向。大小 = 通过垂直于电流方向的单位面积的电流。

通过任意曲面 $S$ 的电流：

$\boxed{I={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}}$

🚰 水管类比：$I$ 是水管出口总流量（每秒多少升），$\vec{J}$ 是水管截面上各点的流速分布（有的地方流得快有的慢）。$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{S}$ 就是把截面上每一点的小流速加起来。

⚡ 漂移速度有多慢？ 铜导线中自由电子密度 $n\approx 8.5\times 10^{28}{\text{m}}^{-3}$，若 $I=1\text{A}$、截面积 $1{\text{mm}}^2$，则 $v_d\approx 7.4\times 10^{-5}\text{m/s}$——比蜗牛爬还慢！但电磁场传播速度接近光速，所以一合开关灯就亮。

电源与电动势

电源提供非静电力（化学力、电磁力等），在电源内部将正电荷从低电势推到高电势。

区域	电荷运动方向	做功的力
外电路	高电势 → 低电势	静电力
内电路（电源内部）	低电势 → 高电势	非静电力

非静电场强：${\vec{E}}_k={\vec{F}}_k/q$（单位正电荷受到的非静电力）

电动势（电源的”总推动力”）：

$\boxed{\mathcal{E}={\oint }_L{\vec{E}}_k\cdot d\vec{l}}$

将单位正电荷沿闭合回路移动一周，非静电力做的功。

🔋 水泵类比：电源 = 水泵。水（电荷）在外管道中从高处流到低处（外电路），水泵（电源的非静电力）把水从低处抽回高处（内电路）。电动势 = 水泵的扬程。

📌 电动势的方向：电源内部电势升高的方向（从负极到正极）。

✅ 本节检查：

• $\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$ 中，如果载流子是负电荷（如电子），$\vec{J}$ 的方向和 ${\vec{v}}_d$ 的方向相同还是相反？

🔬 课堂算例：导线中电子的漂移速度有多快？

教师在课堂上用实际数据带学生算了一遍，纠正”电子跑得很快”的直觉。

已知：铜导线截面积 $S=1.5{\text{mm}}^2=1.5\times 10^{-6}{\text{m}}^2$，通过电流 $I=2\text{A}$。铜的自由电子密度 $n\approx 10^{28}{\text{m}}^{-3}$。

计算： $v_d=\frac{I}{nqS}=\frac{2}{10^{28}\times 1.6\times 10^{-19}\times 1.5\times 10^{-6}}\approx 8\times 10^{-4}\text{m/s}$

🐌 结果惊人：电子漂移速度约 0.8 mm/s —— 比蚂蚁爬还慢！

那为什么开关一按灯就亮了？

能量的传递不依赖于电子的漂移速度，而是依赖电磁场的传播速度（≈ 光速 $3\times 10^8\text{m/s}$）。电子是”信使”而非”子弹”——它们在导线中缓慢漂移，但电场信号以光速沿导线传播，推动整个回路中的电子几乎同时开始运动。

📌 教师金句：“你们可能对电流传输有所误解。能量的传递并不依赖于电子的漂移速度，而是通过电场和磁场的传播速度。”

• 电动势的单位和电势差的单位一样（伏特），但物理意义有什么本质不同？
• 为什么外电路中电流从正极流向负极，但电源内部从负极流向正极？

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§7.2 磁场与磁感应强度——新物理量的诞生

磁现象的发现

时间	发现	意义
古代	永磁体（N/S极），同性相斥异性相吸	磁极不能单独存在——切开一块磁铁，每块都仍有N/S极
1820	奥斯特实验：电流使附近磁针偏转	电流产生磁场——电和磁首次建立联系
后续	安培分子电流假说：一切磁现象的根源是电流	统一了永磁体和电磁体的本质

🧲 安培分子电流假说：每个分子相当于一个微小环形电流（分子磁矩），永磁体的磁性就是这些分子环流定向排列的宏观表现。所以——所有的磁现象本质上都是电流产生的。

磁感应强度 $\vec{B}$

仿照用电场力定义 $\vec{E}$ 的方法，用磁场对运动电荷的力定义 $\vec{B}$：

$\boxed{B=\frac{F_{\max }}{qv}}$

单位：特斯拉（T），$1\text{T}=1\text{N}/(\text{Acdotpm})$。地磁场约 $5\times 10^{-5}\text{T}$，医用 MRI 可达 1.5–3 T。

方向：${\vec{F}}_{\max }\times \vec{v}$ 的方向（即小磁针 N 极所指的方向）。

磁感应线——与电场线的根本区别

	电场线（静电场）	磁感应线（磁场）
起点/终点	始于正电荷，终于负电荷	无起点、无终点——闭合曲线
是否闭合	不闭合（有源场）	必闭合（无源场）
高斯定理	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum q/{\epsilon }_0\ne 0$	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$

四种典型电流的磁感应线分布：

• 条形磁铁：外部 N → S，内部 S → N（闭合）
• 长直电流：右手定则——右手握住导线，拇指指向电流方向，四指弯曲方向为 $\vec{B}$ 方向（同心圆）
• 圆形电流：右手定则——右手四指弯曲方向为电流方向，拇指指向中心轴上 $\vec{B}$ 方向
• 螺线管：内部 $\vec{B}$ 均匀，方向沿轴线（由右手定则确定）

💫 漩涡 vs 喷泉：电场线像喷泉——泉水从泉眼（正电荷）喷出，流入地漏（负电荷），有始有终。磁感应线像水中的漩涡——一直在转圈，既没有起点也没有终点。这是电场和磁场最根本的区别。

✅ 本节检查：

• 磁感应线为什么一定是闭合的？试着用”没有磁单极子”来解释。
• $\vec{B}$ 的定义式 $B=F_{\max }/(qv)$ 中，为什么取”最大”磁场力？如果 $v\parallel B$，力是多少？
• 条形磁铁内部 $\vec{B}$ 的方向是什么？（注意：不是从 N 到 S！）

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§7.3 毕奥-萨伐尔定律——磁学的”库仑定律” ⭐核心

定律内容

电流元 $Id\vec{l}$ 在距其 $\vec{r}$ 处产生的磁感应强度微元：

$\boxed{d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}}$

其中 ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{Tcdotpm/A}$（真空磁导率）。

方向：由 $Id\vec{l}\times \hat{r}$ 确定——右手四指从 $Id\vec{l}$ 转向 $\hat{r}$，拇指方向即为 $d\vec{B}$ 方向。

🔗 与库仑定律的平行结构： $d\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}\leftrightarrow d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$ 都是 $1/r^2$ 衰减，但电场是球对称（沿 $\hat{r}$），磁场是叉积方向（垂直于 $Id\vec{l}$ 和 $\hat{r}$ 所在平面）。

叠加原理：$\vec{B}=\int d\vec{B}$

四大经典应用

📐 以下四个应用的积分推导是本章的计算基本功——考试大概率考至少一个。

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应用一：载流直导线的磁场

有限长直导线，距导线垂直距离 $a$ 处：

$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)}$

其中 ${\theta }_1$、${\theta }_2$ 分别为场点到导线两端的连线与电流方向的夹角。

极限情况	公式
无限长直导线（${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi$）	$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}}$
半无限长直导线（一端延伸到无穷远）	$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}}$

📏 直觉检验：无限长 > 半无限长（两倍的源头 → 两倍的场）✅。距离翻倍 → $B$ 减半（$1/a$ 衰减）✅。

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应用二：圆形载流线圈轴线上的磁场 ⭐最常考

半径 $R$ 的圆电流，轴线上距圆心 $x$ 处：

$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}}$

方向沿轴线，由右手定则确定。

特例	$B$ 值
圆心处 ($x=0$)	$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$
远场 ($x\gg R$)	$B\approx \frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2x^3}$

磁矩（载流线圈的”磁性身份证”）：

$\boxed{\vec{m}=NI\vec{S}=NIS\hat{n}}$

其中 $S$ 为线圈面积，$\hat{n}$ 为法向（右手定则：四指沿电流方向，拇指为 $\hat{n}$）。

有了磁矩，圆电流远场可简洁写为：

$\boxed{B=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{m}{x^3}}$

🧲 类比电偶极子：电场中 $\vec{p}=q\vec{l}$（电偶极矩），远场 $E\propto p/r^3$；磁场中 $\vec{m}=NIS\hat{n}$（磁矩），远场 $B\propto m/r^3$。结构完全平行！

📍 喘口气 ——前面两个应用（直导线 + 圆线圈）是考试最高频的计算题，建议先把它们的推导练熟（遮住笔记自己推一遍），再往下看螺线管和运动电荷。

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应用三：载流直螺线管轴线上的磁场

单位长度匝数 $n$ 的螺线管，轴线上：

$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1)}$

其中 ${\theta }_1$、${\theta }_2$ 为场点到螺线管两端的连线与轴线的夹角。

无限长螺线管内部（${\theta }_1\to \pi ,{\theta }_2\to 0$）：

$\boxed{B={\mu }_{0}nI}$

📐 从有限长到无限长：有限长公式 $B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1)$ 中，当螺线管无限长时，场点到两端的张角分别趋近 ${\theta }_1\to 180°$（$\cos {\theta }_1=-1$）和 ${\theta }_2\to 0°$（$\cos {\theta }_2=1$），代入得 $B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(1-(-1))={\mu }_{0}nI$。

🎯 无限长螺线管内部是均匀磁场——方向和大小处处相同。这是实验中最常用的均匀磁场源。

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应用四：运动电荷的磁场

以速度 $\vec{v}$ 运动的点电荷 $q$，在距其 $\vec{r}$ 处产生的磁场：

$\boxed{\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}}$

这就是毕奥-萨伐尔定律的微观形式（$Id\vec{l}\to q\vec{v}$）。

经典例子：氢原子轨道磁矩

电子以速度 $v$ 绕核做圆周运动（半径 $r$），轨道角动量 $L=m_{e}vr$。

轨道磁矩：$\mu =I\cdot \pi r^2=\frac{e}{T}\cdot \pi r^2=\frac{ev}{2\pi r}\cdot \pi r^2=\frac{evr}{2}$

$\boxed{\vec{\mu }=-\frac{e}{2m_e}\vec{L}}$

🔬 负号表明：电子带负电，磁矩方向与角动量方向相反。这个关系是原子磁性的理论基础。

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补充例题（课件精选题）：

例题	结果	关键思路
无限长载流平板（宽 $a$，总电流 $I$）	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2a}$（方向平行于板）	分割为无限根无限长直导线，积分
旋转带电圆盘轴线	$B=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}\left(\frac{2x^2+R^2}{\sqrt{x^2+R^2}}-2x\right)$	$dq$ 旋转 = 圆电流

🔑 毕奥-萨伐尔定律的解题心法：①取电流元 $Id\vec{l}$ → ②写 $d\vec{B}$ 的大小和方向 → ③对称性分析判零分量 → ④分解为分量分别积分 → ⑤极限检验。

✅ 本节检查：

• 毕奥-萨伐尔定律中的叉积 $Id\vec{l}\times \hat{r}$ 意味着 $d\vec{B}$ 的方向与什么有关？用右手定则比划一下。
• 无限长直导线的 $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$ 中，为什么是 $1/a$ 衰减而不是 $1/a^2$？（提示：对比点电荷电场的 $1/r^2$，无限长直线的对称性降了一个空间维度）
• 圆电流圆心处 $B={\mu }_{0}I/(2R)$，如果线圈匝数从 1 匝变为 $N$ 匝，圆心处 $B$ 变为多少？

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§7.4 磁场中的高斯定理——磁场没有”源”

磁通量

仿照电通量，定义通过曲面 $S$ 的磁通量：

$\boxed{{\Phi }_m={\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}}$

单位：韦伯（Wb），$1\text{Wb}=1{\text{Tcdotpm}}^2$。

磁场高斯定理

$\boxed{{\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0}$

物理意义：磁场是无源场——磁感应线永远是闭合曲线，没有起点也没有终点。这等价于不存在磁单极子（迄今为止所有实验均未发现）。

与电场高斯定理的对比

	电场（静电场）	磁场
高斯定理	${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q_i}{{\epsilon }_0}$	${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$
场线特点	始于正电荷，终于负电荷（不闭合）	闭合曲线，无起点无终点
场的类型	有源场	无源场
微分形式	$\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$	$\nabla \cdot \vec{B}=0$

🧲 最深刻的对比：找遍全宇宙，你可以找到一个单独的正电荷（质子），却永远找不到一个单独的 N 极（磁单极子）。这就是磁场高斯定理 = 0 的根本原因。

✅ 本节检查：

• 磁通量的单位和电通量的单位是否相同？
• 如果一个闭合曲面内放了一块磁铁，通过该闭合曲面的磁通量是多少？
• $\nabla \cdot \vec{B}=0$ 说明磁感应线不能有起点——这意味着什么？

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§7.5 安培环路定理——磁场的”高斯定理” ⭐核心

定理内容

真空中，磁感应强度沿任意闭合环路的线积分，等于环路所包围的电流代数和的 ${\mu }_0$ 倍：

$\boxed{{\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}}$

三个最容易混淆的点（与高斯定理一模一样的问题结构！）

易混淆点	正确理解
① $\vec{B}$ 是谁的场？	$\vec{B}$ 是空间所有电流在该点产生的总场（不仅是环路内电流）
② $\sum I_{\text{内}}$ 是哪些电流？	仅包含环路所包围的电流的代数和
③ 环路外电流能影响环流吗？	不能——外部电流的 $\vec{B}$ 沿环路的线积分为零

🏟️ 绕广场走一圈：广场内有很多人在跑步（电流），广场外也有。你绕广场走一圈，只有广场里面的人的总跑步量决定你感受的”总推动力”（环流）。外面的人的”推动”走一圈后正负抵消。但你在路径上任意一点的瞬间感受（$B$），是由广场内外所有人共同决定的。

电流的符号约定

右手定则：右手四指沿环路绕行方向弯曲，拇指指向穿过环路的电流方向——与拇指同向的 $I$ 取正，反向取负。

能用安培环路定理直接求 $\vec{B}$ 吗？

⚠️ 安培环路定理永远成立，但要用来直接求出 $B$ 的数值，需要：

1. 对称性：载流系统具有足够对称性（柱对称 / 螺线管 / 螺线环）
2. 环路选取：环路上 $B$ 大小处处相等，且与 $d\vec{l}$ 夹角恒为 $0°$ 或 $90°$
3. $B$ 可提出积分号：若环路上各处 $B$ 大小不同，不能直接求解

📝 与高斯定理的平行结构：高斯定理用对称性求 $E$，安培环路定理用对称性求 $B$——两者是电磁学最漂亮的”对称性简化法”。

📝 与高斯定理的平行结构：高斯定理用对称性求 $E$，安培环路定理用对称性求 $B$——两者是电磁学最漂亮的”对称性简化法”。

💬 课堂策略：如何选择高斯定理 vs 安培环路定理？

教师在课堂上反复对比这两个定理，强调考试时选对方法是得分关键。

	高斯定理（电场）	安培环路定理（磁场）
积什么	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}$	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}$
等于什么	$\sum q_{\text{内}}/{\epsilon }_0$	${\mu }_0\sum I_{\text{内}}$
对称性要求	球/柱/面对称	柱/螺线管/螺线环对称
场的性质	有源场（$\ne 0$）	无源场（$=0$）

🎯 教师金句：“对于磁场，有高斯定理；电场里也有高斯定理，这比较简单。事实上大学物理考试不会单独考磁场高斯定理——因为我们主要用安培环路定理来算。”

选择策略：

1. 先看对称性：电荷/电流分布有没有球/柱/面对称？
2. 再看待求量：要求 $E$ 还是 $B$？
3. 电场优先高斯定理，磁场优先安培环路定理
4. 能用安培环路定理的三种典型场景：无限长载流圆柱、长直螺线管、螺线环

三大经典应用

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应用一：长直螺线管内部磁场

$\boxed{B={\mu }_{0}nI}$

$n=N/L$ 为单位长度匝数。无限长螺线管内部是均匀磁场。

推导要点：矩形环路，一条边在管内（$B$ 待求），一条边在管外很远处（$B\approx 0$），两条边垂直于管轴（$\vec{B}\perp d\vec{l}$，无贡献）。

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应用二：螺线环内部磁场

$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}}$

$N$ 为总匝数，$r$ 为环内某点到环心的距离。

推导要点：取半径为 $r$ 的同心圆为环路，环路包围的电流 = $NI$（$N$ 匝每匝穿过环路一次）。

当螺线环截面很小时（$r\approx R$），$B\approx {\mu }_{0}nI$（回归到长直螺线管的结果）。

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应用三：无限长载流圆柱导体的磁场

区域	$B$	说明
柱外 ($r>R$)	$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$	等效于所有电流集中在轴线
柱内 ($r<R$)	$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}}$	正比于 $r$（电流均匀分布在截面）
柱面 ($r=R$)	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}$	两种极限的连续过渡

推导要点：取半径为 $r$ 的同心圆为环路。柱内包围的电流按面积比计算：$I_{\text{内}}=I\cdot (r^2/R^2)$。

📐 用安培环路定理解题的通用步骤： ①分析对称性 → ②选取合适的安培环路 → ③计算环流 $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}$ → ④计算环路内包围的电流代数和 → ⑤代入定理 → ⑥解出 $B$ → ⑦极限检验

安培环路定理与高斯定理的完美对称

	高斯定理（电场）	安培环路定理（磁场）
公式	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum q/{\epsilon }_0$	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I$
积分类型	面积分（闭合曲面）	线积分（闭合环路）
源	电荷 $q$	电流 $I$
对称性	球/柱/面对称 → 高斯面	柱/螺线管/螺线环 → 安培环路
计算前提	$E$ 在面上大小恒定	$B$ 在环路上大小恒定

✅ 本节检查：

• 安培环路定理中，$\vec{B}$ 是环路内电流单独产生的吗？外部电流对 $B$ 有没有贡献？对环流有没有贡献？
• 无限长载流圆柱导体，柱内 $B\propto r$，柱外 $B\propto 1/r$——在 $r=R$ 处两者相等吗？画出 $B$–$r$ 曲线。
• 什么情况下不能用安培环路定理直接求 $B$？

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§7.6 磁场对运动电荷的作用——洛伦兹力

洛伦兹力

$\boxed{\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}}$

三大特征：

特征	说明
$\vec{F}\perp \vec{v}$ 且 $\vec{F}\perp \vec{B}$	$\vec{F}$ 垂直于 $\vec{v}$ 和 $\vec{B}$ 所在平面
不做功	力始终垂直于速度 → $P=\vec{F}\cdot \vec{v}=0$ → 动能不变
只改变方向不改变速率	做匀速圆周运动或螺旋运动

🌬️ 侧风类比：你在一个广场上跑，一阵侧风推你。风的方向始终垂直于你跑步的方向——风不让你跑更快也不让你跑更慢，只让你拐弯。磁场对带电粒子的力就是这样。

三种运动模式

初速度方向	运动类型	关键公式
$\vec{v}\parallel \vec{B}$	匀速直线运动	—
$\vec{v}\perp \vec{B}$	匀速圆周运动	$R=\frac{mv}{qB}$，$T=\frac{2\pi m}{qB}$
$\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 成 $\theta$ 角	螺旋运动	$R=\frac{mv\sin \theta }{qB}$，螺距 $h=\frac{2\pi mv\cos \theta }{qB}$

🔬 重要性质：$T=2\pi m/(qB)$ 与速度无关！这意味着一束速度不同但 $q/m$ 相同的粒子在均匀磁场中的回旋周期相同——这是回旋加速器的理论基础。

应用速查表

应用	原理	关键公式
速度选择器	$F_E=F_B$ 时粒子直线通过	$\boxed{v=\frac{E}{B}}$
汤姆孙实验	电场偏转 + 磁场补偿 → 测比荷	$\frac{e}{m}=\frac{E}{\theta B^{2}L}$
质谱仪	$R=\frac{mv}{qB}$ → 不同 $m/q$ 粒子分开	分离同位素
霍耳效应	磁场使载流子偏转 → 横向电势差	$\boxed{U_H=\frac{1}{nq}\frac{IB}{d}=R_H\frac{IB}{d}}$
回旋加速器	$T$ 与 $v$ 无关 → 周期性加速	$T=2\pi m/(qB)$

霍耳效应详解

当电流通过置于磁场中的导体/半导体时，载流子在洛伦兹力作用下偏转，在导体两侧产生横向电势差：

$\boxed{U_H=R_H\frac{IB}{d}}$

其中霍耳系数 $R_H=\frac{1}{nq}$。

载流子类型	$R_H$ 符号	应用
正电荷（p 型半导体）	$R_H>0$	判断半导体类型
负电荷（n 型半导体）	$R_H<0$	测量载流子浓度 $n$

🎯 霍耳效应是半导体物理的基础测量手段——测出 $U_H$ → 算出 $R_H$ → 判断是 p 型还是 n 型 → 算出载流子浓度。一个实验，得两个物理量。

🔬 课堂详解：霍尔效应的物理图像

以下为课堂现场推导过程，跟着步骤想一遍比背公式强十倍。

场景设定：一块导体/半导体片（厚度 $d$，宽度 $b$），通有电流 $I$（方向为 $+x$），外加磁场 $B$（方向为 $+z$，垂直穿入纸面）。

Step 1 — 电子运动方向：电流方向为 $+x$，电子带负电，漂移速度 ${\vec{v}}_d$ 方向为 $-x$（电子逆电流方向运动）。

Step 2 — 洛伦兹力：电子在磁场中受洛伦兹力 $\vec{F}=-e({\vec{v}}_d\times \vec{B})$。${\vec{v}}_d$（$-x$）叉乘 $\vec{B}$（$+z$）→ 按右手定则指向 $+y$；再乘 $-e$ → 力方向为 $-y$。电子被推向下方。

Step 3 — 电荷堆积：电子在导体下表面堆积 → 下表面带负电，上表面带正电 → 形成向下的横向电场 $E_H$。

Step 4 — 平衡：电子同时受洛伦兹力（向下）和电场力（向上）。平衡时： $e{E}_H=e{v}_{d}B\Rightarrow E_H=v_{d}B$

Step 5 — 霍尔电压： $U_H=E_H\cdot b=v_{d}Bb$

将 $I=nq{v}_d\cdot bd$（$n$ 为载流子浓度）代入： $\boxed{U_H=\frac{IB}{nqd}=R_H\frac{IB}{d}}$

其中 霍尔系数 $R_H=\frac{1}{nq}$：

载流子类型	$R_H$ 符号	含义
正电荷（p 型）	$R_H>0$	空穴导电
负电荷（n 型，电子）	$R_H<0$	电子导电

🎯 课堂强调：$R_H\propto 1/n$ —— 载流子浓度越低，霍尔电压越大。所以半导体（$n$ 小）的霍尔效应远强于金属（$n$ 大）。这就是为什么霍尔元件用半导体做。

📌 教师提醒：“霍尔系数表征的是你的片子产生霍尔电压的能力。霍尔系数小意味着载流子多——金属就是这种。如果想让霍尔效应明显，就要找载流子少的材料。”

实际应用三步法：

1. 测出 $U_H$ → 算出 $R_H$
2. $R_H$ 的符号 → 判断是 p 型还是 n 型半导体
3. $|R_H|=1/(nq)$ → 算出载流子浓度 $n$

💡 2025 年高考物理甘肃卷出现了霍尔效应变体题（液体金属流动 + 磁场 + 功率计算），说明这个知识点正在向中学教育渗透。

✅ 本节检查：

• 洛伦兹力为什么不做功？试用力与位移的关系（$\vec{F}\perp \vec{v}$）和能量角度分别解释。
• 回旋周期 $T=2\pi m/(qB)$ 为什么与速度无关？这意味着什么？
• 速度选择器中，如果粒子速度 $v>E/B$，会被偏向哪边？

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§7.7 磁场对载流导线的作用——安培力

安培定律

载流导线上的电流元在磁场中受力：

$\boxed{d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}}$

这就是安培定律——本质上是导线中每个载流子所受洛伦兹力的宏观总和。

🔗 微观到宏观：$d\vec{F}=(nSdl)\cdot q{\vec{v}}_d\times \vec{B}=(nqS{v}_d)d\vec{l}\times \vec{B}=Id\vec{l}\times \vec{B}$。$nqS{v}_d=J\cdot S=I$。

均匀磁场中载流直导线

$\boxed{F=ILB\sin \theta }$

其中 $\theta$ 为导线方向与 $\vec{B}$ 方向的夹角。

平行电流间的相互作用

两根相距 $a$ 的无限长平行直导线，分别通以电流 $I_1$、$I_2$：

$\boxed{\frac{F}{l}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi a}}$

电流方向	相互作用
同向	相吸 🤝
反向	相斥 💥

📏 “安培”的国际定义（2019年前）：真空中相距 1 m 的两根无限长平行导线，通以相等电流，若单位长度受力为 $2\times 10^{-7}\text{N/m}$，则导线中电流为 1 A。

（注：2019 年 SI 新定义后，“安培”改为由基本电荷 $e$ 定义，但上述”磁力定义”仍然是理解安培物理意义的最佳方式。）

载流线圈在磁场中的磁力矩

$\boxed{\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}}$

其中 $\vec{m}=NIS\hat{n}$ 为线圈的磁矩。

角度 $\theta$（$\vec{m}$ 与 $\vec{B}$ 的夹角）	物理状态
$\theta =0°$	稳定平衡——$\vec{m}\parallel \vec{B}$，力矩为零
$\theta =90°$	力矩最大——$M=mB$
$\theta =180°$	非稳定平衡——$\vec{m}\uparrow \downarrow \vec{B}$，一扰动就翻转

🧲 小磁针类比：载流线圈在磁场中的行为就像一个微小的条形磁铁——它倾向于把自己的磁矩 $\vec{m}$ 转向与 $\vec{B}$ 平行的方向（N 极指向 S 极）。这就是为什么指南针的 N 极指向地理北极（地磁 S 极）。

磁力矩的功

$\boxed{A=I\Delta {\Phi }_m}$

线圈在磁场中转动时，磁力矩做的功 = 电流 × 通过线圈的磁通量变化。这个公式在电动机和发电机的能量转换中至关重要。

✅ 本节检查：

• 安培力 $d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$ 和洛伦兹力 $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$ 两者之间有什么内在联系？
• 同向电流为什么相吸？用右手定则和安培力公式解释。
• 载流线圈在磁场中，$\theta =0°$ 和 $\theta =180°$ 都是力矩为零，两者有什么本质区别？

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§7.8 磁介质——磁场中的物质

磁化现象

磁介质在外磁场 ${\vec{B}}_0$ 中磁化，产生附加磁场 ${\vec{B}}^{\prime }$。

总磁场：$\vec{B}={\vec{B}}_0+{\vec{B}}^{\prime }$

相对磁导率：$\boxed{{\mu }_r=\frac{B}{B_0}}$，磁导率：$\boxed{\mu ={\mu }_0{\mu }_r}$

四类磁介质

类型	${\mu }_r$ 值	特点	例子
顺磁质	${\mu }_r>1$（略大于 1）	有固有分子磁矩，外场下转向排列，$B^{\prime }$ 与 $B_0$ 同向	铝、铂、氧

| 抗磁质 | ${\mu }_r<1$（略小于 1） | 无固有分子磁矩，外场下产生反向感应磁矩，$B^{\prime }$ 与 $B_0$ 反向 | 铜、铋、水 |

🔬 课堂详解：抗磁质的微观机制（教材图 7.6-3 / 7.6-4）

这是课堂上教师花大量时间讲解的重点图，务必对着教材 p.228 的图 7.6-3 和 7.6-4 看。

原子中电子的轨道运动：电子以角速度 ${\omega }_0$ 绕核旋转，等效为一个圆形电流 → 产生轨道磁矩。

不加磁场时：电子只受库仑力（静电力），轨道稳定。

加磁场 ${\vec{B}}_0$ 后：电子额外受到洛伦兹力。关键要看洛伦兹力的方向——

• 如果电子在某时刻运动方向与 ${\vec{B}}_0$ 的关系使洛伦兹力向外（背离核），则库仑力需要”分一部分”来抵消洛伦兹力 → 有效向心力减小 → $\omega$ 减小 → 轨道磁矩减小
• 如果电子运动方向使洛伦兹力向内（指向核），则有效向心力增大 → $\omega$ 增大 → 轨道磁矩增大

核心结论：外加磁场下，电子轨道角速度产生一个附加变化 $\Delta \omega$。$\Delta \omega$ 对应的附加磁矩 $\Delta \vec{m}$ 与 ${\vec{B}}_0$ 方向相反——这就是抗磁性的起源！

$\boxed{\Delta \vec{m}\propto -{\vec{B}}_0}$

📌 课堂强调：“在一般情况下，$\Delta m$ 和 $B_0$ 的方向实际上是相反的。相反的话，不就是抗磁了吗？”

关键区别：

• 抗磁性是所有物质都有的（只要有电子轨道运动），是普适效应
• 顺磁性只有具有固有分子磁矩的物质才有（如 O₂、Al）
• 顺磁质中，顺磁效应（磁矩转向排列）远强于抗磁效应 → 宏观表现为顺磁
• 抗磁质中，无固有磁矩 → 只有抗磁效应 → 宏观 ${\mu }_r<1$

| 铁磁质 | ${\mu }_r\gg 1$（$10^2$–$10^5$） | 极强的磁化效应，$B$-$H$ 非线性，有磁滞回线 | 铁、钴、镍 | | 完全抗磁体 | ${\mu }_r=0$ | 内部 $B=0$（迈斯纳效应） | 超导体（$T<T_c$） |

磁化强度

单位体积内分子磁矩的矢量和：

$\boxed{\vec{M}=\frac{\sum {\vec{m}}_i}{\Delta V}}$

顺磁质中分子磁矩趋向于与 ${\vec{B}}_0$ 同向排列 → $\vec{M}\ne 0$；抗磁质中感应出反向磁矩 → $\vec{M}$ 与 ${\vec{B}}_0$ 反向。

磁化电流

分子磁矩有序排列的宏观效果等价于在磁介质表面出现磁化电流 $I_s$（也称束缚电流）。

⚡ 磁化电流与传导电流不同：磁化电流是分子环流的宏观表现，不产生焦耳热。

磁化电流面密度：$\boxed{j_s=M}$（数值上等于磁化强度）。

🔬 课堂推导：为什么 ${\vec{j}}_S=\vec{M}\times \hat{n}$ ？

以下为课堂现场详细推导过程，建议跟着画图走一遍。

取一块长方体磁介质，内部磁化强度 $\vec{M}$ 沿表面法向。在介质表面附近做一个矩形闭合回路 ABCD：

• AB 段：在介质内部，方向与 $\vec{M}$ 同向，长度为 $\Delta l$
• BC 段：很短，从介质内部穿到外部
• CD 段：在介质外部（真空），$\vec{M}=0$
• DA 段：很短，从外部穿回内部

沿回路计算 $\vec{M}$ 的环流：

${\oint }_L\vec{M}\cdot d\vec{l}=\underset{\text{AB段}}{\underbrace{M\cdot \Delta l}}+\underset{\text{BC段}}{\underbrace{0}}+\underset{\text{CD段（M=0）}}{\underbrace{0}}+\underset{\text{DA段}}{\underbrace{0}}=M\Delta l$

另一方面，该回路包围的磁化电流 $I_S=j_S\Delta l$。

→ $\boxed{{\oint }_L\vec{M}\cdot d\vec{l}=\sum I_S}$

→ 数值上：$j_S=M$

更一般的矢量关系是 ${\vec{j}}_S=\vec{M}\times \hat{n}$（$\hat{n}$ 为表面外法向单位矢量），右手螺旋关系：$\vec{M}$ 的方向为拇指所指，四指所指方向即为磁化电流流动方向。

📌 课堂重点：教师强调这是考试可能考查的知识点——“磁化电流面密度 $j_S$ 与磁化强度 $\vec{M}$ 之间满足什么关系？“务必掌握右手螺旋判定方向。

磁场强度 $\vec{H}$ 与介质中的安培环路定理

引入辅助量——磁场强度：

$\boxed{\vec{H}=\frac{\vec{B}}{{\mu }_0}-\vec{M}}$

单位：A/m。

有介质时的安培环路定理：

$\boxed{{\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_0}$

其中 $\sum I_0$ 只包含传导电流（自由电流），不包含磁化电流。这是处理磁介质问题的核心工具！

🔑 为什么引入 $\vec{H}$？ 因为 $\vec{B}$ 的环流涉及所有电流（传导 + 磁化），而磁化电流通常未知。$\vec{H}$ 的环流只涉及已知的传导电流，使问题大大简化。

各向同性非铁磁质的本构关系

$\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$

$\boxed{\vec{B}={\mu }_0(1+{\chi }_m)\vec{H}={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}=\mu \vec{H}}$

其中 ${\chi }_m$ 为磁化率，${\mu }_r=1+{\chi }_m$。

介质类型	${\chi }_m$	${\mu }_r$
顺磁质	$>0$（$10^{-6}$–$10^{-3}$）	$>1$
抗磁质	$<0$（$10^{-6}$–$10^{-5}$）	$<1$
真空	$0$	$1$

铁磁质的特殊性

特征	描述
高磁导率	${\mu }_r$ 可达 $10^2$–$10^5$
$B$-$H$ 非线性	$B$ 与 $H$ 不是正比关系
磁滞回线	磁化曲线不沿原路返回——剩磁 $B_r$ 和矫顽力 $H_c$
磁畴	铁磁质内部自发磁化的小区域（$10^{-12}$–$10^{-8}{\text{m}}^3$）
居里点 $T_c$	超过此温度 → 铁磁质变为顺磁质（磁畴瓦解）

磁滞回线关键参数图解

从 $H=0,B=0$ 出发：

1. $H$ 增大 → $B$ 沿初始磁化曲线上升 → 达到饱和磁化 $B_s$
2. $H$ 减小 → $B$ 不沿原路返回 → 当 $H=0$ 时 $B=B_r$（剩磁）
3. 反向加 $H$ → $B$ 继续减小 → 当 $B=0$ 时 $H=-H_c$（矫顽力）
4. 继续反向 → 反向饱和 → 形成闭合的磁滞回线

磁滞回线面积 = 一个磁化循环中单位体积的能量损耗（以热的形式耗散）。

铁磁材料分类：

类型	矫顽力	剩磁	磁滞回线	应用
软磁材料	低 $H_c$	低 $B_r$	窄瘦	变压器铁芯、电磁铁
硬磁材料	高 $H_c$	高 $B_r$	宽胖	永磁铁、扬声器
矩磁材料	—	—	矩形	磁存储、磁芯存储器

🧲 软磁 = 容易磁化也容易退磁（省能）；硬磁 = 难磁化也难退磁（永磁）；矩磁 = 只有两种稳定状态（正好对应二进制的 0 和 1）。

与电介质的对称对比

	电介质（第六章）	磁介质（本章 §7.8）
极化/磁化	$\vec{P}$ — 电极化强度	$\vec{M}$ — 磁化强度
辅助场	$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$	$\vec{H}=\vec{B}/{\mu }_0-\vec{M}$
介质定理	$\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{\text{自由}}$	$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_0$
本构关系	$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$	$\vec{B}=\mu \vec{H}$
极化/磁化率	$\vec{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}$	$\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$

🔗 这两章的结构完全平行！学懂了电介质，磁介质就只剩”换符号”了。

✅ 本节检查：

• 顺磁质和抗磁质的本质区别是什么？（从分子磁矩角度回答）
• 引入 $\vec{H}$ 的物理动机是什么？为什么不用 $\vec{B}$ 直接处理磁介质问题？
• 铁磁质的磁滞回线中，“剩磁”和”矫顽力”分别对应曲线的哪两个点？画出来。
• 居里点是什么？铁在居里点以上会变成什么？

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二、电与磁——整章的对称性总结

	静电场（第五、六章）	恒定磁场（第七章）
源	静止电荷 $q$	运动电荷 / 恒定电流 $I$
基本定律	库仑定律 $F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	毕奥-萨伐尔定律 $d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
场的定义	$\vec{E}=\vec{F}/q$	$B=F_{\max }/(qv)$
高斯定理	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum q/{\epsilon }_0$	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$
场的类型	有源场（场线有头有尾）	无源场（场线必闭合）
环路/安培定理	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$（保守场）	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$（非保守场）
力	$\vec{F}=q\vec{E}$	$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$（洛伦兹力）
力做功？	可以做功（保守力）	不做功（力 $\perp$ 速度）
介质	电介质：极化 → $\vec{D}$	磁介质：磁化 → $\vec{H}$

🎯 核心洞察：电场和磁场像一对双胞胎——很多性质完美对称（都有高斯定理和积分定理），但每个对称中又隐藏着关键的不对称。最根本的两个不对称：(1) 有源 vs 无源（有没有磁单极子？）；(2) 保守 vs 非保守（磁场力不做功！）。

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📇 综合闪卡（28 条）

闪卡用法：遮住右边，看左边想答案。 重点练”推导过程”而非死记公式。

#	问题（遮住右边回忆）	答案
1	电流密度 $\vec{J}$ 和电流 $I$ 的关系是什么？	$I={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$。$I$ 是总流量，$\vec{J}$ 是截面上的分布
2	$\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$ 中，如果载流子是带负电的电子，$\vec{J}$ 的方向如何确定？	$\vec{J}$ 与 ${\vec{v}}_d$ 反向（$q<0$）。$\vec{J}$ 的方向始终是正电荷运动方向
3	电动势的物理意义是什么？与电势差有什么不同？	电动势 = 非静电力将单位正电荷沿闭合回路移动一周做的功。电势差 = 静电力做功。电源内部 $U_{ab}=\mathcal{E}-Ir$
4	磁感应强度 $\vec{B}$ 的定义式？方向如何确定？	$B=F_{\max }/(qv)$；方向 = ${\vec{F}}_{\max }\times \vec{v}$ 的方向（即小磁针 N 极指向）
5	磁感应线和电场线最根本的区别？	磁感应线永远是闭合曲线（无起点无终点）；电场线从正电荷出发到负电荷终止（不闭合）
6	毕奥-萨伐尔定律的表达式？方向由什么决定？	$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$；方向由叉积 $Id\vec{l}\times \hat{r}$ 决定（右手定则）
7	无限长直导线的磁场公式？衰减规律？	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$；$\propto 1/a$（比点电荷电场 $1/r^2$ 衰减慢！）
8	圆形载流线圈圆心处的磁场？	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$（单匝）；$N$ 匝则为 $B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2R}$
9	圆形载流线圈轴线上距圆心 $x$ 处的磁场公式？	$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}$。圆心处 $x=0$：$B={\mu }_{0}I/(2R)$；远场 $x\gg R$：$B\propto 1/x^3$
10	磁矩 $\vec{m}$ 的定义？与圆电流轴线远场的关系？	$\vec{m}=NIS\hat{n}$（方向由右手定则确定）。远场 $B=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{m}{x^3}$
11	无限长螺线管内部的磁场？	$B={\mu }_{0}nI$（$n=N/L$ 为单位长度匝数）。内部是均匀磁场
12	运动电荷的磁场公式？	$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}$
13	磁场高斯定理的表达式和物理意义？	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$；磁场是无源场——磁感应线闭合，不存在磁单极子
14	安培环路定理的表达式？	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$（真空）
15	安培环路定理中，$\vec{B}$ 是哪些电流的场？环流由哪些电流决定？	$\vec{B}$ = 所有电流（内外）的总场；环流 $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}$ 只取决于环路内电流的代数和
16	无限长载流圆柱导体柱内和柱外的磁场分布？	柱外 $r>R$：$B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$；柱内 $r<R$：$B={\mu }_{0}Ir/(2\pi R^2)$
17	洛伦兹力的公式？为什么不做功？	$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$；$\vec{F}\perp \vec{v}$ → $P=\vec{F}\cdot \vec{v}=0$ → 不做功
18	带电粒子垂直射入均匀磁场的运动半径和周期？	$R=\frac{mv}{qB}$，$T=\frac{2\pi m}{qB}$（与速度无关！）
19	带电粒子斜射入均匀磁场（夹角 $\theta$）做什么运动？螺距？	螺旋运动；螺距 $h=\frac{2\pi mv\cos \theta }{qB}$（平行分量不受力 → 匀速）
20	速度选择器的原理和条件？	$F_E=F_B$ → $qE=qvB$ → $v=E/B$ 的粒子直线通过
21	霍耳效应的公式？霍耳系数 $R_H$ 的表达式？	$U_H=R_H\frac{IB}{d}$，$R_H=\frac{1}{nq}$。$R_H>0$ → p 型；$R_H<0$ → n 型
22	安培力的公式？均匀磁场中直导线受力？	$d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$；直导线 $F=ILB\sin \theta$
23	两根平行载流导线单位长度的相互作用力？同向是吸还是斥？	$\frac{F}{l}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi a}$；同向相吸，反向相斥
24	载流线圈在磁场中的磁力矩公式？	$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$，其中 $\vec{m}=NIS\hat{n}$
25	磁力矩的功的公式？	$A=I\Delta {\Phi }_m$（电流 × 磁通量变化）
26	磁介质的四类及各自 ${\mu }_r$ 范围？	顺磁质 ${\mu }_r>1$；抗磁质 ${\mu }_r<1$；铁磁质 ${\mu }_r\gg 1$（$10^2$–$10^5$）；完全抗磁体 ${\mu }_r=0$
27	有介质时的安培环路定理？	$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_0$（只含传导电流，不含磁化电流）
28	铁磁质的磁滞回线上，$B_r$ 和 $H_c$ 分别叫什么？	$B_r$ = 剩磁（$H=0$ 时的 $B$）；$H_c$ = 矫顽力（$B=0$ 所需的反向磁场）

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🧪 综合自测

🟢 A 组 — 概念判断（12 题）

判断正误，错误的说明原因。

A1. 恒定电流产生的磁场也是恒定的。

A2. 磁感应线永远是闭合曲线，不可能有起点或终点。

A3. 毕奥-萨伐尔定律中，$d\vec{B}$ 的方向平行于电流元 $Id\vec{l}$ 的方向。

A4. 安培环路定理中的 $\vec{B}$ 仅由环路所包围的电流产生。

A5. 均匀磁场中，带电粒子的运动速率不会改变。

A6. 无限长直螺线管内部的磁场与其截面积有关。

A7. 载流线圈在均匀磁场中所受的合力为零，但合力矩可以不为零。

A8. 两根平行载流导线，如果电流方向相反，它们相互吸引。

A9. 磁场高斯定理 $\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$ 说明不存在磁单极子。

A10. 洛伦兹力可能做正功也可能做负功，取决于粒子速度方向。

A11. 铁磁质的相对磁导率 ${\mu }_r$ 是一个常数。

A12. 载流圆柱导体内部（$r<R$），$B$ 与 $r$ 成反比。

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A 组答案：

#	答案	解释
A1	✅ 对	恒定电流的 $I$ 不变 → $d\vec{B}$ 不随时间变化 → 磁场恒定
A2	✅ 对	磁场是无源场（$\nabla \cdot \vec{B}=0$），磁感应线必闭合。与电场线根本不同
A3	❌ 错	$d\vec{B}\propto Id\vec{l}\times \hat{r}$，方向垂直于 $Id\vec{l}$ 和 $\hat{r}$ 所在平面
A4	❌ 错	$\vec{B}$ 是所有电流的总场。环路内电流只决定环流，不单独决定 $\vec{B}$
A5	✅ 对	洛伦兹力 $\perp$ 速度 → 不做功 → 动能不变 → 速率不变（方向改变）
A6	❌ 错	$B={\mu }_{0}nI$，只与 $n$ 和 $I$ 有关，与截面积无关
A7	✅ 对	均匀磁场中闭合线圈合力为零（每边受力两两抵消），但力矩 $\vec{m}\times \vec{B}$ 一般不为零
A8	❌ 错	反向相斥（口诀：“同吸反斥”）
A9	✅ 对	若存在磁单极子，则高斯定理不等于零。所有实验至今未发现磁单极子
A10	❌ 错	洛伦兹力永不做功。$\vec{F}\perp \vec{v}$ → 力与位移始终垂直
A11	❌ 错	铁磁质的 ${\mu }_r$ 不是常数——$B$-$H$ 非线性，且随磁化历史变化（磁滞回线）
A12	❌ 错	柱内 $B={\mu }_{0}Ir/(2\pi R^2)$，$B\propto r$（正比，非反比）；柱外才 $B\propto 1/r$

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🟡 B 组 — 基本计算（8 题，附答案）

B1. 一根无限长直导线通以电流 $I=5.0\text{A}$。求距导线 2.0 cm 处的磁感应强度大小。

答案

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 5.0}{2\pi \times 0.020}=\frac{1.0\times 10^{-6}}{0.020}=5.0\times 10^{-5}\text{T}$

B2. 一半径 $R=0.10\text{m}$ 的单匝圆形线圈，通以电流 $I=2.0\text{A}$。求：(1) 圆心处的磁感应强度；(2) 轴线上距圆心 0.20 m 处的磁感应强度。

答案

(1) 圆心：$B_0=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 2.0}{2\times 0.10}=\frac{8\pi \times 10^{-7}}{0.20}=4\pi \times 10^{-6}\approx 1.26\times 10^{-5}\text{T}$

(2) $x=0.20\text{m}$： $B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 2.0\times 0.01}{2(0.04+0.01{)}^{3/2}}$ $=\frac{8\pi \times 10^{-9}}{2\times 0.05^{3/2}}=\frac{8\pi \times 10^{-9}}{2\times 0.01118}=1.12\times 10^{-6}\text{T}$

B3. 一螺线管长 $L=0.50\text{m}$，共绕 $N=1000$ 匝，通以电流 $I=2.0\text{A}$。求管内的磁感应强度（视为无限长）。

答案

$n=N/L=1000/0.50=2000\text{匝/m}$

$B={\mu }_{0}nI=4\pi \times 10^{-7}\times 2000\times 2.0=1.6\pi \times 10^{-3}\approx 5.03\times 10^{-3}\text{T}$

B4. 一无限长载流圆柱导体，半径 $R=1.0\text{cm}$，总电流 $I=10\text{A}$ 均匀分布在截面上。求：(1) $r=0.50\text{cm}$ 处（柱内）；(2) $r=3.0\text{cm}$ 处（柱外）的磁感应强度。

答案

(1) 柱内 $r=0.0050\text{m}$： $B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10\times 0.0050}{2\pi \times (0.010{)}^2}=\frac{2\times 10^{-8}}{1.0\times 10^{-4}}=2.0\times 10^{-4}\text{T}$

(2) 柱外 $r=0.030\text{m}$： $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10}{2\pi \times 0.030}=\frac{2.0\times 10^{-6}}{0.030}\approx 6.67\times 10^{-5}\text{T}$

B5. 一电子以速度 $v=3.0\times 10^6\text{m/s}$ 垂直射入 $B=0.50\text{T}$ 的均匀磁场中（$m_e=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$，$e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$）。求：(1) 轨道半径；(2) 回旋周期。

答案

(1) $R=\frac{m_{e}v}{eB}=\frac{9.11\times 10^{-31}\times 3.0\times 10^6}{1.60\times 10^{-19}\times 0.50}=\frac{2.73\times 10^{-24}}{8.0\times 10^{-20}}=3.41\times 10^{-5}\text{m}$

(2) $T=\frac{2\pi m_e}{eB}=\frac{2\pi \times 9.11\times 10^{-31}}{1.60\times 10^{-19}\times 0.50}=\frac{5.72\times 10^{-30}}{8.0\times 10^{-20}}=7.15\times 10^{-11}\text{s}$

验证：$T=2\pi R/v=2\pi \times 3.41\times 10^{-5}/3.0\times 10^6=7.14\times 10^{-11}\text{s}$ ✓

B6. 两根平行无限长直导线相距 20 cm，各通以电流 $I_1=5.0\text{A}$、$I_2=3.0\text{A}$，方向相同。求其中一根导线单位长度所受的力。

答案

$\frac{F}{l}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi a}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 5.0\times 3.0}{2\pi \times 0.20}=\frac{6.0\times 10^{-6}}{0.20}=3.0\times 10^{-5}\text{N/m}$

方向：同向 → 相互吸引。

B7. 一矩形线圈（边长 $a=0.10\text{m}$、$b=0.20\text{m}$，$N=50$ 匝），通以电流 $I=2.0\text{A}$，置于 $B=0.50\text{T}$ 的均匀磁场中。线圈法向与磁场成 $30°$ 角。求：(1) 线圈的磁矩；(2) 线圈所受的磁力矩。

答案

(1) $m=NIS=50\times 2.0\times (0.10\times 0.20)=50\times 2.0\times 0.020=2.0{\text{Acdotpm}}^2$

(2) $M=mB\sin \theta =2.0\times 0.50\times \sin 30°=2.0\times 0.50\times 0.50=0.50\text{Ncdotpm}$

B8. 一霍耳元件（厚度 $d=0.10\text{mm}$），通以电流 $I=10\text{mA}$，置于 $B=0.20\text{T}$ 的磁场中，测得霍耳电压 $U_H=5.0\mu \text{V}$。求霍耳系数和载流子浓度。

答案

$\frac{U_{H}d}{IB}=R_H$

$R_H=\frac{5.0\times 10^{-6}\times 0.10\times 10^{-3}}{10\times 10^{-3}\times 0.20}=\frac{5.0\times 10^{-10}}{2.0\times 10^{-3}}=2.5\times 10^{-7}{\text{m}}^3/\text{C}$

$n=\frac{1}{|R_H|e}=\frac{1}{2.5\times 10^{-7}\times 1.60\times 10^{-19}}=2.5\times 10^{25}{\text{m}}^{-3}$

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🔴 C 组 — 综合应用（5 题，附提示）

C1. 一半径为 $R$ 的薄圆盘，均匀带电（面电荷密度 $\sigma$），以角速度 $\omega$ 绕通过圆心且垂直于盘面的轴旋转。求：(1) 盘心的磁感应强度；(2) 圆盘的磁矩。

💡 提示：(1) 将圆盘分割为无数个半径为 $r$、宽度为 $dr$ 的同心圆环，每个环 = 一个等效圆电流 $dI=\sigma \omega rdr$。所有圆环在圆心的磁场叠加。(2) 每个圆环的磁矩 $dm=\pi r^{2}dI$，积分得总磁矩。答案：(1) $B_0=\frac{{\mu }_0\sigma \omega R}{2}$；(2) $m=\frac{\pi \sigma \omega R^4}{4}$。 —— 课堂详解（Step-by-Step） ——

以下为课堂上教师带学生一步步推的过程。

Step 1 — 把圆盘切成无穷多个同心圆环

取半径为 $r$、宽度为 $dr$ 的圆环。圆环面积 $dS=2\pi rdr$，带电 $dq=\sigma \cdot 2\pi rdr$。

Step 2 — 每个环 = 一个等效圆形电流

圆盘以角速度 $\omega$ 旋转。周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。

等效电流：$dI=\frac{dq}{T}=\frac{\sigma \cdot 2\pi rdr}{2\pi /\omega }=\sigma \omega rdr$

Step 3 — 每个环在圆心的磁场

载流圆环轴线上（$x=0$ 即圆心）的磁场公式： $dB=\frac{{\mu }_{0}dI}{2r}=\frac{{\mu }_0\sigma \omega rdr}{2r}=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}dr$

注意！消去了 $r$ —— 意味着每个环在圆心的贡献与半径无关！

Step 4 — 积分得总磁场

$B_0={\int }_0^R\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}dr=\boxed{\frac{{\mu }_0\sigma \omega R}{2}}$

📌 结果简洁得令人惊讶——所有同心圆环在圆心的磁场贡献完全相同！

Step 5 — 圆盘总磁矩（第二问）

每个圆环的磁矩：$dm=\pi r^2\cdot dI=\pi r^2\cdot \sigma \omega rdr=\pi \sigma \omega r^{3}dr$

总磁矩： $m={\int }_0^R\pi \sigma \omega r^{3}dr=\frac{\pi \sigma \omega R^4}{4}$

C2. 一根无限长直导线弯成如图所示的形状（中间为一半径 $R$ 的半圆，两侧为直线段无限延伸）。导线通以电流 $I$。求半圆圆心 $O$ 处的磁感应强度。

💡 提示：这是”分段叠加”的典型题。三条线段分别贡献：①左端半无限长直线：$B_1={\mu }_{0}I/(4\pi R)$（方向 ⊙）；②半圆弧：$B_2={\mu }_{0}I/(4R)$（半圆弧贡献是整圆的一半）；③右端半无限长直线：$B_3={\mu }_{0}I/(4\pi R)$（方向 ⊙）。三段同向叠加 → 总 $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}+\frac{{\mu }_{0}I}{4R}$。

C3. 一电子在互相垂直的均匀电场 $\vec{E}$ 和均匀磁场 $\vec{B}$ 中运动。已知 $E=3.0\times 10^4\text{V/m}$，$B=2.0\times 10^{-2}\text{T}$。若电子要作匀速直线运动，(1) 速度应多大？(2) 速度方向应如何？

💡 提示：(1) 匀速直线运动的条件是 $\sum \vec{F}=0$，即 $q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}=0$ → $\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}=0$。(2) $\vec{v}$ 必须垂直于 $\vec{E}$ 和 $\vec{B}$ 两者，且大小满足 $v=E/B$（与速度选择器相同逻辑）。$v=3.0\times 10^4/2.0\times 10^{-2}=1.5\times 10^6\text{m/s}$。

C4. 一载流螺线环，平均半径 $R=0.10\text{m}$，总匝数 $N=500$，通以电流 $I=2.0\text{A}$。环内充满相对磁导率 ${\mu }_r=1000$ 的铁磁质。求环内 (1) 磁场强度 $H$；(2) 磁感应强度 $B$；(3) 磁化强度 $M$。

💡 提示：(1) 用介质中的安培环路定理：$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_0$ → $H\cdot 2\pi R=NI$ → $H=NI/(2\pi R)$。(2) $B={\mu }_0{\mu }_{r}H$。(3) $M=({\mu }_r-1)H$（因为 $\vec{B}={\mu }_0(\vec{H}+\vec{M})$）。数值：$H\approx 1.59\times 10^3\text{A/m}$，$B\approx 2.0\text{T}$，$M\approx 1.59\times 10^6\text{A/m}$。

C5. ⭐挑战题 无限大均匀载流平板（面电流密度 $j_s$，单位 A/m），求空间各点的磁感应强度。（提示：利用对称性和安培环路定理）

💡 提示：这是”安培环路定理在磁学中的典型应用”。面对称磁场 → 取矩形安培环路，两条边平行于平板。平板两侧的 $B$ 大小相等、方向相反（由对称性 + 右手定则确定）。结果：$\boxed{B=\frac{{\mu }_0{j}_s}{2}}$（与距离无关，均匀场！）

🔬 课堂对比：无限大载流平板 ←→ 无限大带电平板

教师花了时间将磁学和电学的这个案例对比，强调物理对称性。

	无限大均匀带电平板（电学）	无限大均匀载流平板（磁学）
场	电场 $\vec{E}$	磁场 $\vec{B}$
面密度	面电荷密度 $\sigma$ (C/m²)	面电流密度 $j_s$ (A/m)
分布	平板两侧均匀	平板两侧均匀
公式	$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$	$B=\frac{{\mu }_0{j}_s}{2}$
方向	垂直平板（$\perp$ 面）	平行平板（$\parallel$ 面），右手定则
与距离关系	无关（均匀场）	无关（均匀场）
定理	高斯定理	安培环路定理

🎯 关键差异：电场方向垂直于平板，磁场方向平行于平板。一个向外发散的场（有源），一个环绕的场（无源）。

定量对比： $\frac{B}{E}=\frac{{\mu }_0{j}_s/2}{\sigma /(2{\epsilon }_0)}={\mu }_0{\epsilon }_0\cdot \frac{j_s}{\sigma }=\frac{1}{c^2}\frac{j_s}{\sigma }$

两个看似无关的体系，比值中居然出现了光速 $c$ —— 这正是麦克斯韦统一电磁理论的”伏笔”！

类比：无限大均匀带电平面的电场 $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$，也是不衰减的均匀场。二维对称性 → 不衰减，这是结构性的规律。

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⚠️ 常见错误 Top 10

#	错误	正确理解
1	毕奥-萨伐尔定律的 $dB$ 方向平行于 $Id\vec{l}$	错！方向由 $Id\vec{l}\times \hat{r}$ 决定，垂直于 $Id\vec{l}$ 和 $\hat{r}$ 所在平面——用右手定则确定
2	安培环路定理的 $B$ 只是环路内电流的场	$B$ 是所有电流的总场。环路内电流决定的是环流，不单独决定 $B$
3	洛伦兹力可以做功	永远不做功！$\vec{F}\perp \vec{v}$ → 功率 $P=\vec{F}\cdot \vec{v}=0$。磁场只改变方向，不改变速率/动能
4	磁场高斯定理 = 0 意味着磁场比电场弱	不是！= 0 说明磁场是无源场（磁感应线闭合），不是弱。这跟磁场强度大小无关
5	磁感应线和电场线一样有起点和终点	电场线：正电荷 → 负电荷（不闭合）。磁感应线：永远闭合（无磁单极子）
6	无限长直导线的 $B\propto 1/a$（一次方），觉得跟点电荷电场 $E\propto 1/r^2$ 矛盾	不矛盾！维度不同：点电荷是 0 维源 → $1/r^2$；无限长线是 1 维源 → $1/r$；无限大平面是 2 维源 → 不衰减。维度越高，衰减越慢
7	圆形线圈轴线上 $B={\mu }_{0}I/(2R)$ 适用于任何位置	只适用于圆心（$x=0$）！一般位置 $B={\mu }_{0}I{R}^2/[2(x^2+R^2{)}^{3/2}]$
8	安培环路定理中，环路外电流对环流也有贡献	外部电流的 $B$ 沿环路有值，但走一圈的线积分为零（进的正功 = 出的负功）
9	无限长螺线管内部 $B={\mu }_{0}nI$ 只在真空中成立	在介质中 $B={\mu }_0{\mu }_{r}nI=\mu nI$（有铁芯时 $B$ 可增大上千倍！）
10	$U_H=R_{H}IB/d$ 中无论什么材料 $R_H$ 都是常数	$R_H=1/(nq)$，$n$ 和载流子类型因材料而异。p 型 $R_H>0$，n 型 $R_H<0$。对某些材料，$R_H$ 还会随温度变化

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📋 公式速查

恒定电流

公式	含义
$I=dq/dt$	电流强度定义
$\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$	电流密度矢量
$I={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$	电流与电流密度的关系
$\mathcal{E}=\oint {\vec{E}}_k\cdot d\vec{l}$	电动势定义

磁感应强度与毕奥-萨伐尔定律

公式	含义
$B=F_{\max }/(qv)$	磁感应强度定义
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$	毕奥-萨伐尔定律
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$	有限长直导线
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$	无限长直导线
$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}$	圆电流轴线上
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$	圆电流圆心处
$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1)$	有限长螺线管轴线上
$B={\mu }_{0}nI$	无限长螺线管内部
$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}$	运动电荷的磁场
$\vec{m}=NIS\hat{n}$	载流线圈的磁矩

磁场高斯定理与安培环路定理

公式	含义
${\Phi }_m={\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$	磁通量定义
${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$	磁场高斯定理（无源场）
${\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$	安培环路定理（真空）
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$（$r<R$）	载流圆柱导体内部
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$（$r>R$）	载流圆柱导体外部
$B={\mu }_{0}nI$	长直螺线管内部（安培定理法）
$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$	螺线环内部

磁场对运动电荷和载流导线的作用

公式	含义
$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$	洛伦兹力
$R=\frac{mv}{qB}$	圆周运动半径（$v\perp B$）
$T=\frac{2\pi m}{qB}$	回旋周期（与 $v$ 无关！）
$h=\frac{2\pi mv\cos \theta }{qB}$	螺旋运动螺距
$v=\frac{E}{B}$	速度选择器条件
$U_H=R_H\frac{IB}{d},R_H=\frac{1}{nq}$	霍耳效应
$d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$	安培定律
$F=ILB\sin \theta$	均匀磁场中直导线受力
$\frac{F}{l}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi a}$	平行电流间相互作用力
$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$	载流线圈磁力矩
$A=I\Delta {\Phi }_m$	磁力矩的功

磁介质

公式	含义
${\mu }_r=B/B_0$	相对磁导率
$\mu ={\mu }_0{\mu }_r$	磁导率
$\vec{M}=\sum {\vec{m}}_i/\Delta V$	磁化强度
$\vec{H}=\vec{B}/{\mu }_0-\vec{M}$	磁场强度定义
${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_0$	介质中的安培环路定理
$\vec{B}={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}=\mu \vec{H}$	各向同性非铁磁质的本构关系
$\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$	磁化率关系
${\mu }_r=1+{\chi }_m$	相对磁导率与磁化率

电与磁的基本对比

定理	电场（静电场）	磁场（恒定磁场）
高斯定理	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum q/{\epsilon }_0$	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$
环路/安培定理	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$（保守场）	$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$
场的性质	有源无旋	无源有旋
场线	不闭合（正 → 负）	必闭合

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📚 信息来源：郭华忠老师课件（2026 年春学期，第七章 PPT，§7.1–§7.8）

📝 整理日期：2026-06-18（从 PPT 翻新为完整版格式）

🔗 本章与第六章的关系：从静电场（静止电荷产生）到恒定磁场（运动电荷/恒定电流产生），核心转变是”电荷动起来了”。运动电荷是磁场的源。磁学和电学有大量平行结构（高斯定理 ↔ 安培环路定理，库仑定律 ↔ 毕奥-萨伐尔定律），但关键的不对称是：电场有源（存在单种电荷），磁场无源（不存在磁单极子）。