Lecture 7: Exploring the Quantum Nature of Light

第七讲：探索光的量子本质

“如果量子力学没有让你深感震撼，那你还没有理解它。” — 尼尔斯·玻尔，1922年诺贝尔物理学奖得主

学习目标

• 确定光作为粒子时如何能够从玻璃表面发生部分反射
• 运用量子理论描述部分反射
• 确定肥皂泡和油膜上的颜色的物理起源
• 描述如何仅通过测量一个角度就能确定光的**波长**

先决条件：熟悉光子作为光粒子的概念以及第六讲中的量子规则。

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部分反射问题

为什么经典直觉会失效

人们可能会认为玻璃上有”孔”（像筛网一样）——光子穿过孔时透射，碰到网孔时反射。然而：

• 较厚的玻璃可以比薄玻璃透射更多的光——用孔洞模型很难解释
• 反射概率随厚度振荡——这是实际观察到的现象
• 抛光玻璃使其反射率更高——这与孔洞让光子通过的想法不一致

那么，如果玻璃上没有孔，一个粒子如何实现部分反射呢？

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玻璃板的反射

思想实验装置

这是一个思想实验——它无法实际进行，但我们可以想象它将如何运作，并用量子理论来解释其结果。

• 光垂直入射（正入射）——图中以微小角度表示路径仅为了视觉清晰
• 我们考虑光从玻璃板反射的情况，并确定箭头方法如何解释观察到的行为

反射的两条路径

对于一个要在玻璃上方被探测到的光子（反射事件）：

路径	描述	箭头长度
上表面	直接从玻璃顶部反射	$0.2$
下表面	透射穿过上表面，从下表面反射，再透射穿回上表面	$0.2\times 0.9798\times 0.9798=0.192$

下表面路径涉及：透射 (×0.9798) → 反射 (×0.2) → 透射 (×0.9798)。

反射概率

最大值（箭头对齐）：

$$P_{\text{max}}=(0.2+0.192{)}^2=(0.392{)}^2=0.1537=15.37\%$$

最小值（箭头相反）：

$$P_{\text{min}}=(0.2-0.192{)}^2=(0.008{)}^2=0.000064=0.0064\%$$

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光在玻璃中的透射

透射的两条路径

对于一个要在玻璃下方被探测到的光子（透射事件）：

路径	描述	箭头长度
直接	直接穿过（无反射）	$1\times 0.9798\times 0.9798=0.9600$
两次反射	透射 → 从下表面反射 → 从上表面反射 → 从下表面穿出	$1\times 0.9798\times 0.2\times 0.2\times 0.9798=0.0384$

透射概率（两条路径近似）

最大值：

$$P_{\text{max}}=(0.9600+0.0384{)}^2=(0.9984{)}^2=0.9968=99.68\%$$

最小值：

$$P_{\text{min}}=(0.9600-0.0384{)}^2=(0.9216{)}^2=0.8493=84.93\%$$

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概率问题

概率守恒

光子必须要么反射要么透射——概率之和应为 100%：

情况	反射	透射	总和
最大反射 / 最小透射	$15.37\%$	$84.93\%$	$100.30\%$
最小反射 / 最大透射	$0.0064\%$	$99.68\%$	$99.69\%$

总和并不恰好等于 100%！ 这并非舍入误差——仅仅考虑两条路径存在一个真正的问题。

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解决这个问题：多次反射

遗漏的路径

我们的量子规则说：确定一个事件可以发生的所有替代方式。我们忽略了多于一次内部反射的路径！

对于反射（奇数次反射）：

• 1 次反射：$0.2\times 0.9798^2=0.192$（已计算）
• 3 次反射：$0.2^3\times 0.9798^2=0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.9798^2=0.00768$
• 5 次反射：$0.2^5\times 0.9798^2=0.0003072$
• 通式：$2n+1$ 次反射 → 箭头长度 $0.96\times (0.2{)}^{2n+1}$

对于透射（偶数次反射）：

• 0 次反射：$0.9798^2=0.9600$（已计算）
• 2 次反射：$0.9798^2\times 0.2^2=0.0384$（已计算）
• 4 次反射：$0.9798^2\times 0.2^4=0.001536$
• 6 次反射：更小

情况 1：最小反射（完全相消）

当箭头旋转全部对齐时（穿过玻璃的转数为整数圈）：

• 所有下表面反射的箭头指向同一方向
• 它们的总和（几何级数）：

$$0.96\times [0.2+0.2^3+0.2^5+\dots ]=0.96\times 0.2\times \frac{1}{1-0.04}=0.2$$

• 上表面反射的箭头（0.2，旋转了 6 小时）指向与此总和的相反方向
• 总计：$0.2-0.2=0$ → 零反射！
• 透射：$0.96\times [1+0.04+0.04^2+\dots ]=\frac{0.96}{1-0.04}=1$ → 100% 透射！

情况 2：最大反射

当穿过玻璃的旋转对应 6 小时时：

• 下表面反射的箭头方向交替
• 它们的总和：

$$0.96\times [0.2-0.2^3+0.2^5-\dots ]=\frac{0.96\times 0.2}{1+0.04}=0.1846$$

• 上表面反射 (0.2) 与之相加 → 总计：$0.2+0.1846=0.3846$
• 概率：$0.3846^2\approx 14.8\%$（每面反射率为 4% 的玻璃所能达到的最大值）

对应的透射：

$$P={\left(\frac{0.96}{1+0.04}\right)}^2=0.9231^2\approx 85.2\%$$ $$14.8\%+85.2\%=100\%✓$$

当计入所有多次反射时，概率是守恒的！

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肥皂泡和油膜颜色的物理起源

（图片：肥皂泡 by Iman Sadeghi；油膜 by Jim Freericks）

肥皂泡和油膜上的颜色源自光的部分反射——正是我们一直在分析的量子现象。

原理

1. 某一特定厚度的薄膜可能会完全反射红光，同时透射蓝光或绿光
2. 主要被反射或透射的颜色取决于薄膜的厚度
3. 当厚度发生变化时（由于流体运动、蒸发或重力）：
   • 不同反射路径之间的相对旋转发生改变
   • 不同颜色（不同旋转速率）发生相长或相消干涉
   • 薄膜的不同区域显示出不同的颜色

关键事实

• 肥皂膜和油层的行为与玻璃类似——它们与空气和/或水有分界面
• 薄膜厚度的作用类似于我们计算中的玻璃厚度
• 对于相同的厚度，不同颜色（具有不同旋转速率的光子）将具有不同的相长/相消干涉条件
• 这就是薄膜中干涉色的产生方式

从角度测量波长

由于相长/相消干涉条件取决于：

• 薄膜厚度
• 观察角度
• 光子的旋转速率（颜色）

因此仅通过测量某种颜色发生相长反射的角度，就能确定光的波长。

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总结

• 量子箭头方法成功解释了部分反射——光子同时探索所有可能的路径
• 包含所有多次反射路径对于概率守恒至关重要
• 反射概率随玻璃厚度振荡是箭头旋转规则的直接结果
• 肥皂泡和油膜是薄膜干涉的自然演示，可以用相同的量子理论来解释
• 不同颜色根据薄膜厚度优先反射或透射——每种颜色有不同的旋转速率

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关键要点

1. 部分反射通过量子路径积分来解释：光子不会”决定”反射还是透射——它同时走所有可能的路径，这些路径的概率幅（通过箭头的矢量加法）组合起来决定可观测的概率。

2. 多次反射对于完整性至关重要：最初的两条路径计算给出的概率之和不为 100%。包含所有可能的多次反射路径（利用几何级数）恢复了概率守恒——这是对理论的一个优美验证。

3. 箭头旋转规则是理解薄膜干涉的关键：对于相同的薄膜厚度，不同颜色（光子旋转速率）具有不同的相长/相消干涉条件，从而产生肥皂泡和油膜的鲜艳色彩。

4. 透射和反射互为补充：当透射最大化时反射最小化，反之亦然——总概率始终守恒。这一点从量子规则中自然而然地涌现出来。

5. 几何级数提供了精确结果：所有多次反射路径的总和收敛为一个几何级数，产生满足守恒律的精确概率。这是对更高级路径积分计算的预览。