🧮 线性代数概念闪卡

点击卡片翻转查看答案。涵盖矩阵、行列式、向量空间、特征值核心概念。

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第一章：矩阵基础

什么是阶梯形矩阵？ 入门

矩阵满足：(1) 非零行在零行之上；(2) 每个非零行的首元（第一个非零数）位于上一行首元的右侧。

简化阶梯形：首元为 1，且所在列其余元素全为 0。

高斯消元法的基本操作？ 入门

三种初等行变换：

1. 交换两行（$R_i\leftrightarrow R_j$）
2. 某行乘以非零常数（$R_i\to k{R}_i$）
3. 一行加上另一行的倍数（$R_i\to R_i+k{R}_j$）

矩阵乘法的条件是什么？ 入门

$A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}$

条件：$A$ 的列数 = $B$ 的行数。

$(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$（第 $i$ 行与第 $j$ 列的内积）

矩阵乘法是否满足交换律？ 入门

不满足。一般 $AB\ne BA$。

但 $A(BC)=(AB)C$（结合律成立）。

$A(B+C)=AB+AC$（分配律成立）。

什么是逆矩阵？ 入门

若存在 $B$ 使 $AB=BA=I$，则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。

$A$ 可逆 ⇔ $\det (A)\ne 0$（非奇异）

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第二章：行列式

如何计算 2×2 行列式？ 入门

$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$

行列式的核心性质？ 进阶

1. $\det (A^T)=\det (A)$
2. 交换两行 → 变号
3. 某行乘 $k$ → 行列式乘 $k$
4. 某行加到另一行 → 值不变
5. $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
6. $\det (A^{-1})=1/\det (A)$

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第三章：向量空间

线性相关的定义？ 入门

向量组 $\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}$ 线性相关 ⇔ 存在不全为零的常数 $c_i$ 使 $c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k=0$。

线性无关 ⇔ 只有 $c_1=c_2=\cdots =c_k=0$ 时等式成立。

矩阵的秩是什么？ 入门

秩 $r(A)$ = 最高阶非零子式的阶数 = 阶梯形矩阵的非零行数 = 列空间的维数。

$r(A)=r(A^T)$（行秩 = 列秩）。

什么是基和维数？ 进阶

基 = 向量空间中极大线性无关组。

维数 = 基中向量的个数。

${\mathbb{R}}^n$ 的标准基：$e_1=(1,0,\dots ,0),e_2=(0,1,\dots ,0),\dots$

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第四章：特征值与特征向量

特征值和特征向量的定义？ 进阶

若 $Av=\lambda v$（$v\ne 0$），则 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$v$ 为对应的特征向量。

特征方程：$\det (A-\lambda I)=0$（$n$ 次多项式，$n$ 个特征值）

迹和行列式与特征值的关系？ 进阶

$\text{tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$

$\det (A)={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$

迹 = 所有特征值之和，行列式 = 所有特征值之积。

什么是矩阵的对角化？ 进阶

若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 可对角化：

$A=PD{P}^{-1}$

$P$ = 特征向量组成的矩阵，$D$ = 对角矩阵（特征值在对角线上）。

对角化的好处：$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$，计算简单。

实对称矩阵的特殊性质？ 高阶

1. 特征值全为实数
2. 不同特征值对应的特征向量互相正交
3. 可正交对角化：存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{T}AQ=D$

这是 PCA、谱分解的理论基础。

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💡 共 14 张闪卡，涵盖线性代数核心概念。