📝 空间解析几何自测题

每题点击”查看答案”显示解答。覆盖向量运算、平面直线、曲面判别。A 组基础判断，B 组计算技能，C 组综合应用。

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A 组：基础判断题

A1. 零向量的方向是任意的。

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答案：✅ 正确

零向量方向任意是数学定义——“零长度”意味着没有方向可定义，因此「方向任意」。

A2. $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ 是 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ 的充要条件。

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答案：✅ 正确

$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}⟺\sin \theta =0$ 或有一为零向量 ⇔ 平行。

A3. $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$。

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答案：✅ 正确

混合积的轮换写法——三阶行列式无论如何展开，值不变。

A4. 若 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$ 且 $\vec{a}\neq\vec{0}$，则 $\vec{b}=\vec{c}$。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌ 错误

只能推出 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$。向量点积不满足消去律！

这是最常见的易错点之一。

A5. 空间中 $x^2+y^2=4$ 表示半径为 2 的圆。

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答案：❌ 错误

在空间中是圆柱面（母线平行于 $z$ 轴）。圆必须加上 $z=0$ 的限制。

A6. $z=xy$ 表示马鞍面。

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答案：✅ 正确

$z=xy$ 是标准马鞍面 $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 经 45° 旋转后得到的。二次型矩阵的特征值为 $0,+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$，一正一负一零就是马鞍面。

A7. 方程缺 $z$ 的曲面是母线平行于 $z$ 轴的柱面。

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答案：✅ 正确

方程缺 $z$ ⇔ $z$ 可取任意值 ⇔ 母线平行于 $z$ 轴。这是柱面的判定口诀。

A8. $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ 对任意非零向量始终成立。

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答案：✅ 正确

方向余弦基本恒等式。单位向量的模 = 1，而其三个分量恰好是 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$。勾股定理直接给出此恒等式。

A9. 点向式 $\frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ 中分母为 0，该方程无意义。

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答案：❌ 错误

分母为 0 有意义！$m=0$ 表示 $x\equiv 1$（固定），$y$ 和 $z$ 随参数自由变化。这条直线过 $(1,0,0)$，方向为 $(0,1,2)$。

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B 组：计算技能题

B1. 已知 $\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec{b}=(1,2,-1)$。求 $\vec{a}\cdot\vec{b}$。

A. 3 B. -3 C. 0 D. 5

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答案：B（$-3$）

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot (-1)=2-2-3=-3$

B2. 求过点 $(1,2,3)$，法向量为 $(2,-1,4)$ 的平面方程。

A. $2x - y + 4z - 12 = 0$ B. $x + 2y + 3z - 12 = 0$ C. $2x - y + 4z + 12 = 0$ D. $2x + y + 4z - 12 = 0$

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答案：A（$2x-y+4z-12=0$）

点法式：$2(x-1)-(y-2)+4(z-3)=0$

展开：$2x-2-y+2+4z-12=0$ ⇒ $2x-y+4z-12=0$

B3. 求过 $(1,0,2)$ 和 $(3,1,-1)$ 的直线点向式方程。

A. $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-3}$ B. $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{3}$ C. $\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{-3}$ D. A 和 C 都对

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答案：D（A 和 C 都对）

方向 $\vec{s}=(3-1,1-0,-1-2)=(2,1,-3)$。

取 $M_1(1,0,2)$：$\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-3}$

取 $M_2(3,1,-1)$：$\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-3}$

两种都对——同一条直线上不同点出发而已。

B4. 求点 $P(1,2,3)$ 到平面 $2x - y + 2z - 1 = 0$ 的距离。

A. $\frac13$ B. $1$ C. $\frac53$ D. $\frac73$

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答案：C（$\frac{5}{3}$）

$d=\frac{|2\cdot 1-1\cdot 2+2\cdot 3-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|2-2+6-1|}{3}=\frac{5}{3}$

B5. 计算 $[\vec{a}\;\vec{b}\;\vec{c}]$，其中 $\vec{a}=(1,1,0),\ \vec{b}=(0,1,1),\ \vec{c}=(1,0,1)$。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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答案：C（$2$）

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=1\cdot (1\cdot 1-1\cdot 0)-1\cdot (0\cdot 1-1\cdot 1)+0=1-(-1)=2$

B6. 直线 $\ell: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ 到平面 $\pi: 2x - y + 2z - 1 = 0$ 的距离为？

A. $0$（相交） B. $\frac13$ C. $\frac23$ D. $1$

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答案：B（$\frac{1}{3}$）

① $\vec{n}=(2,-1,2)$，$\vec{v}=(2,2,-1)$。$\vec{n}\cdot \vec{v}=4-2-2=0$ ⇒ 平行。

② $P_0=(1,0,-1)$。代入平面：$2(1)-0+2(-1)-1=-1\ne 0$ ⇒ 不在面上。

③ $d=\frac{|-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\boxed{\frac{1}{3}}$

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C 组：综合应用题

C1. 已知 $A(1,0,0),\ B(0,2,0),\ C(0,0,3)$。以 $O,A,B,C$ 为顶点的四面体体积为？

A. $\frac13$ B. $\frac12$ C. $1$ D. $2$

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答案：C（$1$）

$\overrightarrow{OA}=(1,0,0),\overrightarrow{OB}=(0,2,0),\overrightarrow{OC}=(0,0,3)$

$V=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC}]|=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right|=\frac{1}{6}\cdot 6=\boxed{1}$

三点恰好在三根轴上——这是一个「直角四面体」：$V=\frac{1}{6}\cdot abc=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1$。

C2. $2x^2 + y^2 - z^2 = 0$ 表示什么曲面？

A. 单叶双曲面 B. 椭圆锥面 C. 双叶双曲面 D. 椭球面

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答案：B（椭圆锥面）

$A=\mathrm{diag}(2,1,-1)$，特征值为 $+2,+1,-1$（二正一负）。

虽然特征值和单叶双曲面相同，但方程右边是 $0$（齐次），所以是锥面不是双曲面。

判别规则：特征值不全同号 + 常数项=0 → 锥面。

C3. 曲线 $\begin{cases}z=2x^2+y^2\\z=4-x^2-3y^2\end{cases}$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线为？

A. $x^2+y^2=4$ B. $3x^2+4y^2=4$ C. $x^2+3y^2=4$ D. $4x^2+3y^2=4$

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答案：B（$3x^2+4y^2=4$ 即椭圆 $\frac{x^2}{4/3}+\frac{y^2}{1}=1$）

两式相等消 $z$：$2x^2+y^2=4-x^2-3y^2$

⇒ $3x^2+4y^2=4$

投影曲线：$\{\begin{array}{l}3x^2+4y^2=4\\ z=0\end{array}$

C4. $x^2 - 2xy + y^2 + z = 0$ 的二次型矩阵特征值为 $0,2,0$，这是什么曲面？

A. 马鞍面 B. 抛物柱面 C. 椭圆抛物面 D. 双曲柱面

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答案：B（抛物柱面）

两个零特征值（$\lambda =0,2,0$），但方程有线性项 $z$ → 抛物柱面。

没有线性项时才是双曲柱面。这里的 $z$ 是关键判别要素。

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💡 共 17 题：A 组检验概念清晰度，B 组检验计算熟练度，C 组检验综合应用。建议对照闪卡复习错题对应的薄弱环节。