📝 微积分自测题

每题点击”查看答案”显示解答。覆盖第一章到第六章。

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第一章：极限与连续

1. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ 的值为？

A. 1 B. 3 C. 1/3 D. 0

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答案：B（3）

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}={\lim }_{x\to 0}3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3$

利用重要极限 ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$，令 $u=3x$。

2. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{|x|}$ 在 $x = 0$ 处极限是否存在？

A. 存在，等于 1 B. 存在，等于 0 C. 不存在 D. 存在，等于 -1

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答案：C（不存在）

左极限：${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{\sin x}{|x|}={\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{\sin x}{-x}=-1$

右极限：${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{|x|}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{x}=1$

左右极限不相等，故极限不存在。

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第二章：导数与微分

3. $y = x^x$ 的导数 $y'$ 为？

A. $x \cdot x^{x-1}$ B. $x^x \ln x$ C. $x^x (\ln x + 1)$ D. $x^x$

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答案：C（$x^x(\ln x+1)$）

取对数：$\ln y=x\ln x$

求导：$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1$

所以 $y^{\prime }=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$

4. 函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处？

A. 可导 B. 连续但不可导 C. 不连续 D. 既不可导也不连续

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答案：B（连续但不可导）

$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续： ${\lim }_{x\to 0}|x|=0=f(0)$ ✓

但不可导： 左导数 $f_{-}^{\prime }(0)=-1$，右导数 $f_{+}^{\prime }(0)=1$，不相等，故不可导。

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第三章：中值定理与导数应用

5. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ 的值为？

A. 0 B. 1/2 C. 1 D. 不存在

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答案：B（1/2）

洛必达法则（两次）：

${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$

（也可用泰勒展开：$e^x=1+x+x^2/2+\cdots$）

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第四章：不定积分

6. 积分 $\int x \cos x\,dx$ 的结果为？

A. $x\sin x + \cos x + C$ B. $x\sin x - \cos x + C$ C. $x\cos x + \sin x + C$ D. $-\cos x + C$

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答案：A（$x\sin x+\cos x+C$）

分部积分法：$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$

（口诀”反对幂指三”：幂函数 $x$ 优先选为 $u$）

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第五章：定积分

7. 定积分 $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ 的值为？

A. 1/2 B. 0 C. 1/4 D. 2

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答案：B（0）

利用对称性：$x^3$ 是奇函数，积分区间 $[-1,1]$ 对称于原点。

${\int }_{-a}^a(\text{奇函数})dx=0$

直接计算：${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_{-1}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$

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第六章：微分方程

8. 微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$ 的通解为？

A. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$ B. $y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$ C. $y = e^{2x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ D. $y = C_1e^{2x} + C_2$

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答案：B（$y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$）

特征方程：$r^2-4r+4=0$ ⇒ $(r-2{)}^2=0$

重根 $r=2$ → 通解 $y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$

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💡 共 8 题，覆盖全部六章核心考点。建议答题后对照闪卡复习薄弱环节。