📐 微积分概念闪卡

点击卡片翻转查看答案。涵盖极限、导数、积分、中值定理核心概念。

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第一章：极限与连续

数列极限的 ε-N 定义是什么？ 入门

设 $\{a_n\}$ 为数列，$A$ 为常数。若 $\forall \epsilon >0$，$\exists N\in \mathbb{N}$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-A|<\epsilon$，则称 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$。

函数极限的 ε-δ 定义是什么？ 进阶

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 的定义：$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$。

函数在一点连续的定义？ 入门

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 ⇔ ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。即：极限值 = 函数值。等价条件：${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$。

左右极限与极限存在的关系？ 入门

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ ⇔ ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$

即：极限存在当且仅当左右极限都存在且相等。

两个重要极限公式？ 入门

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

2. ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{1/x}=e$（或 ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$）

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第二章：导数与微分

导数的定义式？ 入门

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

可导与连续的关系？ 入门

可导必连续，连续不一定可导。

反例：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导。

隐函数求导的核心思想？ 进阶

方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，将 $y$ 视为 $x$ 的函数，使用链式法则。

例如 $x^2+y^2=1$：$2x+2y\cdot y^{\prime }=0$ ⇒ $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$

参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t) \end{cases}$ 的求导公式？ 进阶

$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)}{[{\phi }^{\prime }(t){]}^3}$

微分的几何意义？ 入门

$dy=f^{\prime }(x)dx$ 表示曲线在点 $(x,f(x))$ 处切线的增量（纵坐标变化）。

$\Delta y\approx dy$（当 $\Delta x$ 很小时）。

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第三章：中值定理

罗尔定理是什么？ 入门

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

（两端点函数值相等 → 中间存在驻点）

拉格朗日中值定理是什么？ 入门

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使：

$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

（存在一点，该点切线斜率 = 割线斜率）

泰勒公式（带拉格朗日余项）？ 进阶

$f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$

其中 $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。

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第四章：不定积分

不定积分与原函数的关系？ 入门

$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数 ⇔ $F^{\prime }(x)=f(x)$。

不定积分 $\int f(x)dx=F(x)+C$，其中 $C$ 为任意常数。

积分是微分的逆运算。

分部积分法公式？如何选 u？ 进阶

$\int udv=uv-\int vdu$

选 $u$ 的优先级：反、对、幂、指、三

（反三角函数 > 对数 > 幂函数 > 指数 > 三角）

常见的三角代换？ 进阶

被积函数含	代换	微分
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$dx=a\cos tdt$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$dx=a{\sec }^{2}tdt$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$dx=a\sec t\tan tdt$

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第五章：定积分

牛顿-莱布尼茨公式？ 入门

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$。这一定理将定积分与原函数联系起来，是微积分的核心桥梁。

积分中值定理？ 入门

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，则 $\exists \xi \in [a,b]$ 使：

${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

（积分 = 某点函数值 × 区间长度）

变上限积分求导公式？ 进阶

$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$

更一般地： $\frac{d}{dx}{\int }_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b(x))b^{\prime }(x)-f(a(x))a^{\prime }(x)$

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第六章：微分方程

可分离变量方程的标准形式？ 入门

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$

分离变量：$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$，两边积分即得通解。

一阶线性微分方程的通解公式？ 进阶

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

通解：$y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q\cdot e^{\int Pdx}dx+C\right)$

如何判断二阶常系数齐次方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的解的形式？ 高阶

特征方程：$r^2+pr+q=0$

$\Delta$	根	通解
$>0$	不相等实根 $r_1,r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$=0$	重根 $r$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
$<0$	共轭复根 $\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

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💡 共 22 张闪卡，涵盖微积分上全部核心概念。建议每天复习 5-10 张。