🧮 线性代数公式速查

一、矩阵运算

基本运算

加法: $(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$（同型矩阵）

数乘: $(kA{)}_{ij}=k\cdot a_{ij}$

乘法: $(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$

矩阵乘法不满足交换律： $AB\ne BA$（一般情况）

转置性质: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

逆矩阵: $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

可逆充要条件: $\det (A)\ne 0$

逆矩阵求法

2×2 矩阵: $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

伴随矩阵法: $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$

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二、行列式

定义（按行展开）

$$\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{M}_{ij}$$

其中 $M_{ij}$ 为余子式

性质

1. $\det (A^T)=\det (A)$
2. $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$
3. $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$
4. 交换两行 → 变号
5. 某行乘以 $k$ → 行列式乘以 $k$
6. 一行加到另一行 → 值不变

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三、向量空间

线性相关/无关

$\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}$ 线性相关 ⇔ $\exists$ 不全为零的 $c_i$ 使 $\sum c_i{v}_i=0$

秩

• 行秩 = 列秩 = 矩阵秩
• 秩 = 最高阶非零子式的阶数
• 秩 = 阶梯形矩阵的非零行数

维数定理

$$\dim (V)=\text{rank}(A)+\dim (\text{null}(A))$$

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四、特征值与特征向量

定义

$$A\vec{v}=\lambda \vec{v}$$

$\lambda$: 特征值，$\vec{v}$: 特征向量

特征方程

$$\det (A-\lambda I)=0$$

迹与行列式

$$\text{tr}(A)=\sum {\lambda }_i,\det (A)=\prod {\lambda }_i$$

对角化

若 $A$ 有 $n$ 个线性无关特征向量，则：

$$A=PD{P}^{-1}$$

其中 $P$ 列 = 特征向量，$D$ 对角 = 特征值

实对称矩阵

• 特征值全为实数
• 特征向量两两正交
• 可正交对角化

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五、常用特殊矩阵

矩阵	性质
单位矩阵 $I$	$AI=IA=A$
对角矩阵	$D^n=\text{diag}(d_1^n,\dots ,d_n^n)$
对称矩阵	$A=A^T$
正交矩阵	$A^T=A^{-1}$（列向量标准正交）

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📚 参考:

• Strang, Introduction to Linear Algebra (Strang, 2023)

Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.