📐 微积分公式速查

一、极限与连续

重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e$$ $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

等价无穷小（$x\to 0$）

$$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x$$ $$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,e^x-1\sim x$$ $$\ln (1+x)\sim x,(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$$

---

二、导数公式

基本求导

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$

求导法则

乘积: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

商: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

链式: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

---

三、积分公式

基本积分

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$ $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$ $$\int e^{x}dx=e^x+C,\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ $$\int \sin xdx=-\cos x+C,\int \cos xdx=\sin x+C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$

换元积分

第一类（凑微分）: $\int f[g(x)]g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$

第二类（三角代换）:

• $\sqrt{a^2-x^2}$ → 令 $x=a\sin t$
• $\sqrt{a^2+x^2}$ → 令 $x=a\tan t$
• $\sqrt{x^2-a^2}$ → 令 $x=a\sec t$

分部积分

$$\int udv=uv-\int vdu$$

口诀：反对幂指三（选 $u$ 的优先级）

---

四、中值定理

罗尔定理: $f(a)=f(b)$ → $\exists \xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日: $\exists \xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西: $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

泰勒公式

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n$$

麦克劳林展开:

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (-1<x\le 1)$$

---

五、微分方程

一阶线性

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

通解: $y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$

二阶常系数齐次

特征方程: $r^2+pr+q=0$

判别式	根	通解形式
$\Delta >0$	$r_1\ne r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$\Delta =0$	$r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
$\Delta <0$	$r=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

---

📚 参考:

• Courant & John, Introduction to Calculus and Analysis (Courant & John, 1988)

Courant, R., & John, F. (1988). Introduction to Calculus and Analysis (Vol. 1). Springer.